微分と積分の関係
微分と積分の関係
\(ff^{\bullet}\left(a\right)=a\)が成り立つとき、
\[ f\left(x\right)=\int_{f^{\bullet}\left(a\right)}^{x}f'\left(x\right)dx-a \]
\(ff^{\bullet}\left(a\right)=a\)が成り立つとき、
\[ f\left(x\right)=\int_{f^{\bullet}\left(a\right)}^{x}f'\left(x\right)dx-a \]
\begin{align*}
\int_{f^{\bullet}\left(a\right)}^{x}f'\left(x\right)dx & =\left[f\left(x\right)\right]_{x=f^{\bullet}\left(a\right)}^{x=x}\\
& =f(x)-ff^{\bullet}\left(a\right)\\
& =f\left(x\right)-a
\end{align*}
これより、与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 微分と積分の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/dqpk99jx/ |
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逆関数の微分
\[
\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}
\]
反復積分に関するコーシーの公式
\[
\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{n-1}}f\left(y_{n}\right)dy_{n}\cdots dy_{1}=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f\left(t\right)dt
\]
ライプニッツの法則
\[
\left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)}
\]
3角関数の関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx
\]