実数列では一様収束と一様コーシー列は同値

関数列\(f_{n}(x)\)の定義域を\(I\)とする。
一様収束は
\[ \forall\epsilon>0,\;\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;N\leq n\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon \] であり、一様コーシー列は
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;N\leq m,n\rightarrow\left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|<\epsilon \] である。

\(\Rightarrow\)

一様収束するならば、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し任意の\(x\in I\)に対し、
\[ \begin{cases} N\leq m\Rightarrow\left|f_{m}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon\\ N\leq n\Rightarrow\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|<\epsilon \end{cases} \] が成り立つ。
このとき、
\begin{align*} \left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right| & =\left|f_{m}\left(x\right)-f\left(x\right)+f\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|\\ & \leq\left|f_{m}\left(x\right)-f\left(x\right)\right|+\left|f\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|\\ & <\epsilon+\epsilon\\ & =2\epsilon \end{align*} となるので、
\[ N\leq m,n\Rightarrow\left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|<2\epsilon \] となり一様コーシー列となる。

\(\Leftarrow\)

一様コーシー列であるので、任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し任意の\(x\in I\)に対し、
\[ N\leq m,n\rightarrow\left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|<\epsilon \] が成り立つ。
このとき、任意の\(x\in I\)に対し数列\(\left(f_{n}\left(x\right)\right)_{n\in\mathbb{N}}\)はコーシー列となり、実数の完備性より収束列となる。
これより、\(\lim_{m\rightarrow\infty}f_{m}\left(x\right)=f\left(x\right)\)となるので、
\[ N\leq n\rightarrow\left|f\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right|<\epsilon \] となり一様収束となる。

\(\Leftrightarrow\)

故に\(\Rightarrow\)も\(\Leftarrow\)も成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。