中央2項係数の値
中央2項係数の値
\(n\in\mathbb{Z}\)とする。
\[ C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right) \]
\(n\in\mathbb{Z}\)とする。
\[ C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right) \]
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)のとき
\begin{align*} C\left(2n,n\right) & =\frac{\left(2n\right)!}{n!n!}\\ & =\frac{\left(2n\right)!!\left(2n-1\right)!!}{n!n!}\\ & =\frac{2^{n}n!2^{n}\left(n-\frac{1}{2}\right)!}{n!n!\left(-\frac{1}{2}\right)!}\\ & =\frac{4^{n}\left(n-\frac{1}{2}\right)!}{n!\left(-\frac{1}{2}\right)!}\\ & =\frac{4^{n}Q\left(\frac{1}{2},n\right)}{n!}\\ & =\frac{4^{n}\left(-1\right)^{n}P\left(-\frac{1}{2},n\right)}{n!}\\ & =4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right) \end{align*}\(n\in\mathbb{N}^{-}\)のとき
\(n=-m\)とおくと、\(m\in\mathbb{N}\)となる。与式左辺は
\begin{align*} C\left(2n,n\right) & =\frac{P\left(2n,n\right)}{n!}\\ & =\frac{Q\left(n+1,n\right)}{n!}\\ & =\frac{1}{n!P\left(n,-n\right)}\\ & =\frac{1}{\left(-m\right)!P\left(-m,m\right)}\\ & =0 \end{align*} 与式右辺は
\begin{align*} 4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right) & =\frac{4^{n}\left(-1\right)^{n}P\left(-\frac{1}{2},n\right)}{n!}\\ & =\frac{4^{n}\left(-1\right)^{n}Q\left(\frac{1}{2}-n,n\right)}{n!}\\ & =\frac{4^{n}\left(-1\right)^{n}}{n!P\left(-\frac{1}{2}-n,-n\right)}\\ & =\frac{4^{-m}\left(-1\right)^{-m}}{\left(-m\right)!P\left(-\frac{1}{2}+m,m\right)}\\ & =0 \end{align*} これより、 \(n\in\mathbb{N}^{-}\)で与式は成り立つ。
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これより、\(n\in\mathbb{Z}\)で与式は成り立つ。ページ情報
タイトル | 中央2項係数の値 |
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パスカルの法則の応用
\[
C\left(x+n,y+n\right)=C\left(x,y+n\right)+\sum_{k=0}^{n-1}C\left(x+k,y+n-1\right)
\]
2項係数を含む総和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)}
\]
2項係数が0になるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0
\]
2項係数の半分までの総和
\[
\sum_{k=0}^{n-1}C\left(2n-1,k\right)=2^{2n-2}
\]