点と集合との分離の定義と性質
点と集合との分離の定義と性質
点と集合との分離の定義
また、ある閉近傍により、点と点を分離できるとき、閉近傍で分離ができるという。
また、ある閉集合により、点と部分集合を分離できるとき、閉集合で分離ができるという。
また、ある部分集合と部分集合を閉近傍により分離できるとき、閉近傍で分離ができるという。
また、\(A\)と\(B\)は関数で分離できて、\(f^{\bullet}\left(A\right)=\left\{ 0\right\} ,f^{\bullet}\left(B\right)=\left\{ 1\right\} \)となるとき、\(A\)と\(B\)は関数でちょうど分離できるという。
点と集合との分離の性質
点と集合との分離の定義
(1)点と点を分離
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の点\(x,y\in X\)があるとき、ある開集合\(U\in\mathcal{O}\)が存在し\(x\in U,y\notin U\)または\(x\notin U,y\in U\)となるとき、\(x\)と\(y\)は分離ができるという。(2)点と点を開集合(閉近傍)で分離
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の点\(x,y\in X\)があるとき、ある開集合\(U_{x},U_{y}\in\mathcal{O}\)が存在し\(x\in U_{x},y\in U_{y},U_{x}\cap U_{y}=\emptyset\)となるとき、\(x\)と\(y\)は開集合で分離ができるという。また、ある閉近傍により、点と点を分離できるとき、閉近傍で分離ができるという。
(3)点と部分集合を開集合で分離
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の点\(x\in X\)と部分集合\(A\subseteq X\)があるとき、ある開集合\(U_{x},U_{A}\in\mathcal{O}\)が存在し\(x\in U_{x},A\subseteq U_{A},U_{x}\cap U_{A}=\emptyset\)となるとき、\(x\)と\(A\)は開集合で分離ができるという。また、ある閉集合により、点と部分集合を分離できるとき、閉集合で分離ができるという。
(4)部分集合と部分集合を開集合(閉近傍)で分離
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の部分集合\(A,B\subseteq X\)があるとき、ある開集合\(U_{A},U_{B}\in\mathcal{O}\)が存在し\(A\subseteq U_{A},B\subseteq U_{B},U_{A}\cap U_{B}=\emptyset\)となるとき、\(A\)と\(B\)は開集合で分離ができるという。また、ある部分集合と部分集合を閉近傍により分離できるとき、閉近傍で分離ができるという。
(5)部分集合と部分集合を関数で分離
\(\text{位相空間}\left(X,\mathcal{O}\right)\)の部分集合\(A,B\subseteq X\)があるとき、ある連続写像\(f:X\rightarrow\mathbb{R}\)が存在して、\(f\left(A\right)=\left\{ 0\right\} ,f\left(B\right)=\left\{ 1\right\} \)とできるとき、\(A\)と\(B\)は関数で分離できるという。また、\(A\)と\(B\)は関数で分離できて、\(f^{\bullet}\left(A\right)=\left\{ 0\right\} ,f^{\bullet}\left(B\right)=\left\{ 1\right\} \)となるとき、\(A\)と\(B\)は関数でちょうど分離できるという。
点と集合との分離の性質
(1)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、部分集合\(A,B\subseteq X\)を閉近傍で分離できるならば、開集合で分離できる(2)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、部分集合\(A,B\subseteq X\)を関数で分離できるならば、閉近傍で分離できる。(1)
部分集合\(A,B\subseteq X\)を閉近傍で分離できるので、\(A\)のある閉近傍\(V_{A}\)と\(B\)のある閉近傍\(V_{B}\)が存在し、\(V_{A}\cap V_{B}=\emptyset\)となる。このとき、\(U_{A}\)は\(A\)の閉近傍なのである開集合\(U_{A}\in\mathcal{O}\)が存在し、\(A\subseteq U_{A}\subseteq V_{A}\)となる。
同様に、\(U_{B}\)は\(B\)の閉近傍なのである開集合\(U_{B}\in\mathcal{O}\)が存在し、\(B\subseteq U_{B}\subseteq V_{B}\)となる。
従って、交わらない部分集合\(A,B\subseteq X\)について、ある開集合\(U_{A},U_{B}\in\mathcal{O}\)が存在し、\(A\subseteq U_{A},B\subseteq U_{B},U_{A}\cap U_{B}=\emptyset\)
となるので開集合で分離ができる
故に題意は成り立つ。
(2)
条件より部分集合\(A,B\subseteq X\)を関数で分離できるので、ある連続関数\(f:X\rightarrow\mathbb{R}\)が存在し、\(f\left(A\right)=\left\{ 0\right\} ,f\left(B\right)=\left\{ 1\right\} \)となる。このとき、\(f\)は連続関数なので開集合の逆像は開集合で、閉集合の逆像は閉集合になる。
従って、\(\left[-\frac{1}{3},+\frac{1}{3}\right]\)は閉集合で\(\left(-\frac{1}{4},+\frac{1}{4}\right)\)は開集合であり、\(\left\{ 0\right\} \subseteq\left(-\frac{1}{4},+\frac{1}{4}\right)\subseteq\left[-\frac{1}{3},+\frac{1}{3}\right]\)であるので、\(\top\Leftrightarrow f^{\bullet}\left(\left\{ 0\right\} \right)\subseteq f^{\bullet}\left(\left(-\frac{1}{4},+\frac{1}{4}\right)\right)\subseteq f^{\bullet}\left(\left[-\frac{1}{3},+\frac{1}{3}\right]\right)\Leftrightarrow A\subseteq f^{\bullet}\left(\left(-\frac{1}{4},+\frac{1}{4}\right)\right)\subseteq f^{\bullet}\left(\left[-\frac{1}{3},+\frac{1}{3}\right]\right)\)となり、\(f^{\bullet}\left(\left(-\frac{1}{4},+\frac{1}{4}\right)\right)\)は開集合で\(f^{\bullet}\left(\left[-\frac{1}{3},+\frac{1}{3}\right]\right)\)は閉集合であるので\(f^{\bullet}\left(\left[-\frac{1}{3},+\frac{1}{3}\right]\right)\)は\(A\)の閉近傍になる。
同様に、\(B\subseteq f^{\bullet}\left(\left(\frac{3}{4},\frac{5}{4}\right)\right)\subseteq f^{\bullet}\left(\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]\right)\)となり、\(f^{\bullet}\left(\left(\frac{3}{4},\frac{5}{4}\right)\right)\)は開集合で\(f^{\bullet}\left(\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]\right)\)は閉集合であるので\(f^{\bullet}\left(\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]\right)\)は\(B\)の閉近傍になる。
また、\(A\)の閉近傍\(f^{\bullet}\left(\left[-\frac{1}{3},+\frac{1}{3}\right]\right)\)と\(B\)の閉近傍\(f^{\bullet}\left(\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]\right)\)の積集合は\(f^{\bullet}\left(\left[-\frac{1}{3},+\frac{1}{3}\right]\right)\cap f^{\bullet}\left(\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]\right)=f^{\bullet}\left(\left[-\frac{1}{3},+\frac{1}{3}\right]\cap\left[\frac{2}{3},\frac{4}{3}\right]\right)=f^{\bullet}\left(\emptyset\right)=\emptyset\)となるの、\(A\)と\(B\)は閉近傍で分離ができる。
これより、部分集合\(A,B\subseteq X\)を関数で分離できるならば、閉近傍で分離できる。
従って、題意は成り立つ。
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| タイトル | 点と集合との分離の定義と性質 |
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(*)分離公理(距離・正規・正則・T2・T1・T0・その他)同士の関係
\[
\text{距離空間}\Rightarrow\text{正規空間}\Rightarrow\text{正則空間}\Rightarrow T_{2}\text{空間}\Rightarrow T_{1}\text{空間}\Rightarrow T_{0}\text{空間}
\]
分離公理(T0・T1・T2・T3・T4・正則・正規・その他)の定義
有限位相での分離公理(離散・距離・T4・T3・T2・T1・T0)同士の関係
T3・T4空間の同値な条件