リーマンゼータ関数とガンマ関数の関係
リーマンゼータ関数とガンマ関数の関係
(1)
\[ \zeta(s)=\pi^{s-1}2^{s}\sin\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(1-s\right)\zeta(1-s) \](2)
\[ \zeta(1-s)=\pi^{-s}2^{1-s}\cos\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(s\right)\zeta(s) \](1)
リーマンゼータの関数等式\[ \pi^{-\frac{s}{2}}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)=\pi^{-\frac{1-s}{2}}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\zeta(1-s) \] を\(\zeta(s)\)について解くと、
\begin{align*} \zeta(s) & =\pi^{s-\frac{1}{2}}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\Gamma^{-1}\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(1-s)\qquad,\qquad\text{相反公式}\Gamma(x)\Gamma(1-x)=\pi\sin^{-1}(\pi x)\\ & =\pi^{s-\frac{1}{2}}\sin\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1-s}{2}+\frac{1}{2}\right)\zeta(1-s)\qquad,\qquad\text{ガウスの乗法公式}\Gamma(2x)=\frac{2^{2x-\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(x)\Gamma\left(x+\frac{1}{2}\right)\\ & =\pi^{s-1}2^{s}\sin\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(1-s\right)\zeta(1-s) \end{align*}
(2)
\(s\rightarrow1-s\)とすると、\begin{align*} \zeta(1-s) & =\pi^{-s}2^{1-s}\sin\frac{(1-s)\pi}{2}\Gamma\left(s\right)\zeta(s)\\ & =\pi^{-s}2^{1-s}\cos\frac{s\pi}{2}\Gamma\left(s\right)\zeta(s) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | リーマンゼータ関数とガンマ関数の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/e0oxbgf8/ |
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ゼータ関数の交代級数
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta\left(2k\right)-\zeta\left(2k+1\right)\right)=\frac{1}{2}
\]
ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
\[
\zeta(s)=\frac{1}{\Gamma(s)}\int_{0}^{\infty}\frac{x^{s-1}}{e^{x}-1}dx
\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数のハンケル経路積分
\[
\zeta\left(s,\alpha\right)=-\frac{\Gamma\left(1-s\right)}{2\pi i}\int_{C}\frac{\left(-z\right)^{s-1}e^{-\alpha z}}{1-e^{-z}}dz
\]
ゼータ関数とイータ関数の関係
\[
\eta(s)=(1-2^{1-s})\zeta(s)
\]