根号の中に根号がある整数問題

\(m=\sqrt{n+\sqrt{n+7}}\)とおくと、
\begin{align*} m=\sqrt{n+\sqrt{n+7}} & \Rightarrow m^{2}=n+\sqrt{n+7}\\ & \Leftrightarrow m^{2}-n=\sqrt{n+7}\\ & \Rightarrow m^{4}-2m^{2}n+n^{2}=n+7\\ & \Leftrightarrow n^{2}-\left(2m^{2}+1\right)n+m^{4}-7=0 \end{align*} となり、\(n\)について解くと、
\begin{align*} n & =\frac{2m^{2}+1\pm\sqrt{\left(2m^{2}+1\right)^{2}-4\left(m^{4}-7\right)}}{2}\\ & =\frac{2m^{2}+1\pm\sqrt{4m^{2}+29}}{2} \end{align*} となる。
\(n\)が整数となるためにはルートの中が平方数にならなければいけないので、
\[ \left(2m\right)^{2}<4m^{2}+29<\left(2m+4\right)^{2} \] となる。
従って、
\[ 4m^{2}+29\in\left\{ \left(2m+1\right)^{2},\left(2m+2\right)^{2},\left(2m+3\right)^{2}\right\} \] となる。

\(4m^{2}+29=\left(2m+1\right)^{2}\)のとき、

\begin{align*} 4m^{2}+29=\left(2m+1\right)^{2} & \Leftrightarrow4m^{2}+29=4m^{2}+4m+1\\ & \Leftrightarrow4m=28\\ & \Leftrightarrow m=7 \end{align*} となるので、
\begin{align*} n & =\frac{2m^{2}+1\pm\sqrt{4m^{2}+29}}{2}\\ & =\frac{98+1\pm\sqrt{196+29}}{2}\\ & =\frac{99\pm\sqrt{225}}{2}\\ & =\frac{99\pm15}{2}\\ & =57,42 \end{align*} \(n=57\)とすると、\(m=\sqrt{57+\sqrt{57+7}}=\sqrt{57+8}=\sqrt{65}\notin\mathbb{N}\)となるので不適。
\(n=42\)とすると、\(m=\sqrt{42+\sqrt{42+7}}=\sqrt{42+7}=7\in\mathbb{N}\)となるので適。

\(4m^{2}+29=\left(2m+2\right)^{2}\)のとき、

\begin{align*} 4m^{2}+29=\left(2m+2\right)^{2} & \Leftrightarrow4m^{2}+29=4m^{2}+8m+4\\ & \Leftrightarrow8m=25\\ & \Leftrightarrow m=\frac{25}{8} \end{align*} となり\(m\)は自然数でないので不適。

\(4m^{2}+29=\left(2m+3\right)^{2}\)のとき、

\begin{align*} 4m^{2}+29=\left(2m+3\right)^{2} & \Leftrightarrow4m^{2}+29=4m^{2}+12m+9\\ & \Leftrightarrow12m=20\\ & \Leftrightarrow m=\frac{5}{3} \end{align*} となり\(m\)は自然数でないので不適。

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これらより、\(n=42\)ときのみとなる。