距離空間では連続と点列連続は同値

by nomura · 2023年6月27日

距離空間では連続と点列連続は同値
距離空間\(\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)\)と写像\(f:X\rightarrow Y\)があるとき、\(f\)が\(a\in X\)で連続であることと、\(f\)が\(a\)で点列連続であることは同値である。

一般的に\(X,Y\)が位相空間のときに、連続であるならば点列連続となるが逆は成り立たない。
一般的に\(X\)が第1可算空間、\(Y\)が位相空間のときに、連続であることと点列連続であることは同値となる。

\(\Rightarrow\)

\(f\)が\(a\)で連続であるので、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X,d\left(x,a\right)<\delta\rightarrow d\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon \] となる。
このとき、
\[ \forall\delta>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(x_{n},a\right)<\delta \] となるが、連続であるので、\(d\left(x_{n},a\right)<\delta\rightarrow d\left(f\left(x_{n}\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon\)を満たす。
これより、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

対偶で示す。
連続でないときは、
\[ \exists\epsilon>0,\forall\delta>0,\exists x\in X,d\left(x,a\right)<\delta\land d\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)\geq\epsilon \] となる。
\(\delta\)は任意なので任意の自然数\(n\)に対し\(\delta=\frac{1}{n}\)とおくと、\(x=x_{n}\)と表されるので、
\[ \exists\epsilon>0,\forall n>0,\exists x_{n}\in X,d\left(x_{n},a\right)<\frac{1}{n}\land d\left(f\left(x_{n}\right),f\left(a\right)\right)\geq\epsilon \] となり、\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a\)であるが、\(\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(x_{n}\right)\ne f\left(a\right)\)となる。
故に連続でないならば点列連続でないので対偶をとると\(\Leftarrow\)が成り立つ。