距離空間では連続と点列連続は同値

by nomura · 2023年6月27日

距離空間では連続と点列連続は同値
距離空間$\left(X,d_{X}\right),\left(Y,d_{Y}\right)$と写像$f:X\rightarrow Y$があるとき、$f$が$a\in X$で連続であることと、$f$が$a$で点列連続であることは同値である。

一般的に$X,Y$が位相空間のときに、連続であるならば点列連続となるが逆は成り立たない。
一般的に$X$が第1可算空間、$Y$が位相空間のときに、連続であることと点列連続であることは同値となる。

$\Rightarrow$

$f$が$a$で連続であるので、
\[ \forall\epsilon>0,\exists\delta>0,\forall x\in X,d\left(x,a\right)<\delta\rightarrow d\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon \] となる。
このとき、
\[ \forall\delta>0,\exists N\in\mathbb{N},N<n\rightarrow d\left(x_{n},a\right)<\delta \] となるが、連続であるので、$d\left(x_{n},a\right)<\delta\rightarrow d\left(f\left(x_{n}\right),f\left(a\right)\right)<\epsilon$を満たす。
これより、$\Rightarrow$が成り立つ。

$\Leftarrow$

対偶で示す。
連続でないときは、
\[ \exists\epsilon>0,\forall\delta>0,\exists x\in X,d\left(x,a\right)<\delta\land d\left(f\left(x\right),f\left(a\right)\right)\geq\epsilon \] となる。
$\delta$は任意なので任意の自然数$n$に対し$\delta=\frac{1}{n}$とおくと、$x=x_{n}$と表されるので、
\[ \exists\epsilon>0,\forall n>0,\exists x_{n}\in X,d\left(x_{n},a\right)<\frac{1}{n}\land d\left(f\left(x_{n}\right),f\left(a\right)\right)\geq\epsilon \] となり、$\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=a$であるが、$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(x_{n}\right)\ne f\left(a\right)$となる。
故に連続でないならば点列連続でないので対偶をとると$\Leftarrow$が成り立つ。