稠密集合・疎集合・完全集合・離散集合の定義
稠密集合・疎集合・完全集合・離散集合の定義
位相空間\((X,\mathcal{O})\)、部分集合\(A\subseteq X\)とする。
\[ A^{a}=X \] のとき\(A\)は\(X\)で稠密(ちゅうみつ)集合という。
\[ A^{ai}=\emptyset \] のとき\(A\)は\(X\)で疎(そ)集合という。
\[ A^{d}=A \] のとき\(A\)は完全集合という。
\[ A^{s}=A \] のとき、\(A\)を離散集合という。
\(A^{a}\)は閉包
\(A^{d}\)は導集合
\(A^{s}\)は孤立点全体の集合
位相空間\((X,\mathcal{O})\)、部分集合\(A\subseteq X\)とする。
(1)稠密集合
\(A\)の閉包が全体集合になるとき、すなわち、\[ A^{a}=X \] のとき\(A\)は\(X\)で稠密(ちゅうみつ)集合という。
(2)疎集合
\(A\)の閉包の内部が空集合になるとき、すなわち、\[ A^{ai}=\emptyset \] のとき\(A\)は\(X\)で疎(そ)集合という。
(3)完全集合
\(A\)の導集合が\(A\)になるとき、すなわち、\[ A^{d}=A \] のとき\(A\)は完全集合という。
(4)離散集合
\(A\)の孤立点全体の集合が\(A\)となるとき、すなわち、\[ A^{s}=A \] のとき、\(A\)を離散集合という。
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\(A^{i}\)は内部\(A^{a}\)は閉包
\(A^{d}\)は導集合
\(A^{s}\)は孤立点全体の集合
(1)稠密集合
密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は空集合でない任意の部分集合\(A\subseteq X\)に対し、\(A\)は稠密集合となる。\(X=\mathbb{R}\)として通常位相をとると、有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)は稠密集合となる。
(2)疎集合
位相空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)で\(\left\{ b\right\} ^{ai}=\left\{ b\right\} ^{i}=\emptyset\)となるので\(\left\{ b\right\} \)は疎集合となる。\(X=\mathbb{R}\)として通常位相をとると、\(\left\{ \frac{1}{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)は疎集合となる。
(3)完全集合
\(2\leq X\)の密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)で\(X^{d}=X\)となるので\(X\)は完全集合となる。位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)で\(\left\{ a,b\right\} ^{d}=\left\{ a,b\right\} \)となるので\(\left\{ a,b\right\} \)は完全集合となる。
\(X=\mathbb{R}\)として通常位相をとると、\(\left[0,1\right]\)は完全集合となる。
(4)離散集合
離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は任意の部分集合\(A\subseteq X\)に対し、\(A\)は離散集合となる。\(X=\mathbb{R}\)として通常位相をとると、\(\left\{ \frac{1}{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)は離散集合となる。
ページ情報
| タイトル | 稠密集合・疎集合・完全集合・離散集合の定義 |
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基本関数の微分
\[
\left(a^{x}\right)'=a^{x}\log a
\]
複素指数関数の極形式
\[
\alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}
\]
パスカルの法則
\[
C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y)
\]
3角関数と3角関数の対数の積分
\[
\int\sin\left(z\right)\log\left(\sin z\right)dz=-\cos z\log\sin z+\cos z+\log\left(\sin\frac{z}{2}\right)-\log\left(\cos\frac{z}{2}\right)+C
\]