稠密集合・疎集合・完全集合・離散集合の定義

by nomura · 2023年7月24日

稠密集合・疎集合・完全集合・離散集合の定義
位相空間\((X,\mathcal{O})\)、部分集合\(A\subseteq X\)とする。

(1)稠密集合

\(A\)の閉包が全体集合になるとき、すなわち、
\[ A^{a}=X \] のとき\(A\)は\(X\)で稠密(ちゅうみつ)集合という。

(2)疎集合

\(A\)の閉包の内部が空集合になるとき、すなわち、
\[ A^{ai}=\emptyset \] のとき\(A\)は\(X\)で疎(そ)集合という。

(3)完全集合

\(A\)の導集合が\(A\)になるとき、すなわち、
\[ A^{d}=A \] のとき\(A\)は完全集合という。

(4)離散集合

\(A\)の孤立点全体の集合が\(A\)となるとき、すなわち、
\[ A^{s}=A \] のとき、\(A\)を離散集合という。

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\(A^{i}\)は内部
\(A^{a}\)は閉包
\(A^{d}\)は導集合
\(A^{s}\)は孤立点全体の集合

(1)稠密集合

密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は空集合でない任意の部分集合\(A\subseteq X\)に対し、\(A\)は稠密集合となる。
\(X=\mathbb{R}\)として通常位相をとると、有理数全体の集合\(\mathbb{Q}\)は稠密集合となる。

(2)疎集合

位相空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)で\(\left\{ b\right\} ^{ai}=\left\{ b\right\} ^{i}=\emptyset\)となるので\(\left\{ b\right\} \)は疎集合となる。
\(X=\mathbb{R}\)として通常位相をとると、\(\left\{ \frac{1}{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)は疎集合となる。

(3)完全集合

\(2\leq X\)の密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)で\(X^{d}=X\)となるので\(X\)は完全集合となる。
位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)で\(\left\{ a,b\right\} ^{d}=\left\{ a,b\right\} \)となるので\(\left\{ a,b\right\} \)は完全集合となる。
\(X=\mathbb{R}\)として通常位相をとると、\(\left[0,1\right]\)は完全集合となる。

(4)離散集合

離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は任意の部分集合\(A\subseteq X\)に対し、\(A\)は離散集合となる。
\(X=\mathbb{R}\)として通常位相をとると、\(\left\{ \frac{1}{n};n\in\mathbb{N}\right\} \)は離散集合となる。