偏角の3角関数
偏角の3角関数
(1)
\[ \sin\Arg z=\frac{\Im z}{\left|z\right|} \](2)
\[ \cos\Arg z=\frac{\Re z}{\left|z\right|} \](3)
\[ \tan\Arg z=\frac{\Im z}{\Re z} \](1)
\begin{align*} \sin\Arg z & =\frac{e^{i\Arg z}-e^{-i\Arg z}}{2i}\\ & =\frac{\sgn z-\sgn^{-1}z}{2i}\\ & =\frac{1}{2i}\left(\frac{z}{\left|z\right|}-\frac{\left|z\right|}{z}\right)\\ & =\frac{1}{2i}\left(\frac{z\left|z\right|-\overline{z}\left|z\right|}{\left|z\right|^{2}}\right)\\ & =\frac{\Im z}{\left|z\right|} \end{align*}(2)
\begin{align*} \cos\Arg z & =\frac{e^{i\Arg z}+e^{-i\Arg z}}{2}\\ & =\frac{\sgn z+\sgn^{-1}z}{2}\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{z}{\left|z\right|}+\frac{\left|z\right|}{z}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\frac{z\left|z\right|+\overline{z}\left|z\right|}{\left|z\right|^{2}}\right)\\ & =\frac{\Re z}{\left|z\right|} \end{align*}(3)
\begin{align*} \tan\Arg z & =\frac{\sin\Arg z}{\cos\Arg z}\\ & =\frac{\Im z}{\Re z} \end{align*}ページ情報
タイトル | 偏角の3角関数 |
URL | https://www.nomuramath.com/eajvv751/ |
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巾関数と逆三角関数・逆双曲線関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}\Sin^{\bullet}zdz=\frac{1}{\alpha+1}\left(z^{\alpha+1}\Sin^{\bullet}z-\frac{z^{\alpha+2}}{\alpha+2}F\left(\frac{1}{2},\frac{\alpha}{2}+1;\frac{\alpha}{2}+2;z^{2}\right)\right)+C
\]
3角関数と逆3角関数・双曲線関数と逆双曲線関数の関係
\[
\sin^{\bullet}\sin z=z\Leftrightarrow\cos^{\bullet}\cos\left(\frac{\pi}{2}-z\right)=\frac{\pi}{2}-z
\]
3角関数(双曲線関数)の逆3角関数(逆双曲線関数)が恒等写像になる条件
\[
\sin^{\bullet}\sin z=?z
\]
逆3角関数と逆双曲線関数の主値と2乗のルート
\[
\sin^{\bullet}\sin z=z\Rightarrow\sqrt{\cos^{2}z}=\cos z
\]