(0)

\(x:0\rightarrow\infty\)なので、\(t=-ix^{2}\)とおくと\(x\)と\(x^{2}\)は非負実数で\(\Arg\left(-i\right)\ne\pi\)なので、\(x=\left(x^{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\left(it\right)^{\frac{1}{2}}=i^{\frac{1}{2}}t^{\frac{1}{2}}\)となり、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{ix^{2}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{-iR^{2}}e^{-t}\frac{i^{\frac{1}{2}}t^{\frac{1}{2}-1}}{2}dt\cmt{t=-ix^{2}}\\ & =\frac{i^{\frac{1}{2}}}{2}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{\left|-i\right|R^{2}e^{i\Arg\left(-i\right)}}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1+i}{2\sqrt{2}}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{-i\frac{\pi}{2}}}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\\ & =\frac{1+i}{2\sqrt{2}}\int_{0}^{\infty}t^{\frac{1}{2}-1}e^{-t}dt\cmt{\because0<\Re\left(\frac{1}{2}\right)<1\land\Arg\left(-i\frac{\pi}{2}\right)=-\frac{\pi}{2}}\\ & =\frac{\sqrt{2}\left(1+i\right)}{4}\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{\sqrt{2\pi}\left(1+i\right)}{4} \end{align*} となる。
従って、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{2}\right)dx & =\Im\left(\int_{0}^{\infty}e^{ix^{2}}dx\right)\\ & =\Im\left(\frac{\sqrt{2}\pi}{4}\left(1+i\right)\right)\\ & =\frac{\sqrt{2}\pi}{4} \end{align*} \begin{align*} \int_{0}^{\infty}\cos\left(x^{2}\right)dx & =\Re\left(\int_{0}^{\infty}e^{ix^{2}}dx\right)\\ & =\Re\left(\frac{\sqrt{2}\pi}{4}\left(1+i\right)\right)\\ & =\frac{\sqrt{2}\pi}{4} \end{align*} となる。

(0)-2

\[ \int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{2}\right)dx=\Im\left(\int_{0}^{\infty}e^{ix^{2}}dx\right) \] \[ \int_{0}^{\infty}\cos\left(x^{2}\right)dx=\Re\left(\int_{0}^{\infty}e^{ix^{2}}dx\right) \] なので\(\int_{0}^{x}e^{ix^{2}}dx\)を求める。
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{ix^{2}}dx & =\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{-i\frac{\pi}{4}}}e^{i\left(te^{i\frac{\pi}{4}}\right)^{2}}e^{i\frac{\pi}{4}}dt\cmt{x=te^{i\frac{\pi}{4}}}\\ & =e^{i\frac{\pi}{4}}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{-i\frac{\pi}{4}}}e^{-t^{2}}dt\\ & =e^{i\frac{\pi}{4}}\int_{-C_{3}}e^{-z^{2}}dz\\ & =e^{i\frac{\pi}{4}}\int_{-C+C_{1}+C_{2}}e^{-z^{2}}dz\\ & =e^{i\frac{\pi}{4}}\left(\int_{-C}e^{-z^{2}}dz+\int_{C_{1}}e^{-z^{2}}dz+\int_{C_{2}}e^{-z^{2}}dz\right) \end{align*} 積分経路は、\(C_{1}\)は実軸上\(r\)を\(r:0\rightarrow R\)として、\(C_{2}\)は半径\(R\)を一定で\(Re^{i\theta}\)を\(\theta:0\rightarrow-\frac{\pi}{4}\)とし、\(C_{3}\)は\(\mathit{\theta=-\frac{\pi}{4}}\)上で\(re^{-i\frac{\pi}{4}}\)を\(r:R\rightarrow0\)である。
また、\(C=C_{1}+C_{2}+C_{3}\)とすると、\(C\)は\(0\rightarrow R\rightarrow Re^{-i\frac{\pi}{4}}\rightarrow0\)を通る。
右辺第1項の周回積分は特異点がないので、
\[ \int_{C}e^{-z^{2}}dz=0 \] となる。
右辺第2項は、
\begin{align*} \int_{C_{1}}e^{-z^{2}}dz & =\int_{0}^{\infty}e^{-R^{2}}dR\\ & =\frac{\sqrt{\pi}}{2} \end{align*} となる。
右辺第3項は、\(0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}\)では\(\frac{2}{\pi}\theta\leq\sin\theta\)なので、
\begin{align*} \left|\int_{C_{2}}e^{-z^{2}}dz\right| & =\lim_{R\rightarrow\infty}\left|\int_{0}^{-\frac{\pi}{4}}e^{-R^{2}e^{2i\theta}}iRe^{i\theta}d\theta\right|\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\left|\int_{0}^{-\frac{\pi}{4}}e^{-R^{2}\left(\cos\left(2\theta\right)+i\sin\left(2\theta\right)\right)}e^{i\theta}d\theta\right|\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\left|-\frac{\pi}{4}\right|}\left|e^{-R^{2}\left(\cos\left(2\theta\right)+i\sin\left(2\theta\right)\right)}e^{i\theta}\right|d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{-R^{2}\cos\left(2\theta\right)}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{-R^{2}\sin\left(\frac{\pi}{2}-2\theta\right)}d\theta\\ & \leq\lim_{R\rightarrow\infty}R\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{-R^{2}\left(1-\frac{4\theta}{\pi}\right)}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}Re^{-R^{2}}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}e^{R^{2}\frac{4\theta}{\pi}}d\theta\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}Re^{-R^{2}}\left[\frac{\pi}{4R^{2}}e^{4R^{2}\frac{\theta}{\pi}}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{\pi}{4R}e^{-R^{2}}\left[e^{4R^{2}\frac{\theta}{\pi}}\right]_{0}^{\frac{\pi}{4}}\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{\pi}{4R}e^{-R^{2}}\left(e^{R^{2}}-1\right)\\ & =\lim_{R\rightarrow\infty}\frac{\pi}{4R}\left(1-e^{-R^{2}}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \int_{-C_{2}}e^{iz^{2}}dz=0 \] となる。
これらより、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}e^{-x^{2}}dx & =e^{i\frac{\pi}{4}}\left(\int_{-C}e^{-z^{2}}dz+\int_{C_{1}}e^{-z^{2}}dz+\int_{C_{2}}e^{-z^{2}}dz\right)\\ & =e^{i\frac{\pi}{4}}\frac{\sqrt{\pi}}{2}\\ & =\frac{1+i}{\sqrt{2}}\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}\\ & =\frac{\sqrt{2\pi}}{4}\left(1+i\right) \end{align*} となる。
従って、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\sin\left(x^{2}\right)dx & =\Im\left(\int_{0}^{\infty}e^{ix^{2}}dx\right)\\ & =\Im\left(\frac{\sqrt{2\pi}}{4}\left(1+i\right)\right)\\ & =\frac{\sqrt{2\pi}}{4} \end{align*} \begin{align*} \int_{0}^{\infty}\cos\left(x^{2}\right)dx & =\Re\left(\int_{0}^{\infty}e^{ix^{2}}dx\right)\\ & =\Re\left(\frac{\sqrt{2\pi}}{4}\left(1+i\right)\right)\\ & =\frac{\sqrt{2\pi}}{4} \end{align*} となる。