底が異なる指数方程式

両辺を\(4^{x}\)で割ると、
\[ \frac{9^{x}}{4^{x}}-\frac{6^{x}}{4^{x}}=1 \] \(0\leq4,0\leq6,0\leq9\)より、
\[ \left(\frac{9}{4}\right)^{x}-\left(\frac{6}{4}\right)^{x}=1 \] となり、
\[ \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\right)^{x}-\left(\frac{3}{2}\right)^{x}=1 \] となる。
\(x\)は実数なので、
\[ \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\right)^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{x}-1=0 \] となる。
これを\(\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\)について解くと、
\begin{align*} \left(\frac{3}{2}\right)^{x} & =\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}\\ & =\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \end{align*} となるが、\(0\leq\left(\frac{3}{2}\right)^{x}\)より、\(\frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)は不適なので、
\[ \left(\frac{3}{2}\right)^{x}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \] となる。
これより、
\begin{align*} x & =\frac{\log\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}{\log\frac{3}{2}}\\ & =\frac{\log\left(-1+\sqrt{5}\right)-\log2}{\log3-\log2} \end{align*} となる。