複素数の実部と虚部

by nomura · 2024年1月1日

複素数の実部と虚部
\(z\in\mathbb{C}\)とする。

(1)

\[ \Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right) \]

(2)

\[ \Im\left(-z\right)=-\Im\left(z\right) \]

(3)

\[ \Re\left(iz\right)=-\Im\left(z\right) \]

(4)

\[ \Im\left(iz\right)=\Re\left(z\right) \]

(5)

\[ \Re\left(\left|a\right|z\right)=\left|a\right|\Re\left(z\right) \]

(6)

\[ \Im\left(\left|a\right|z\right)=\left|a\right|\Im\left(z\right) \]

-

\(\Re\left(z\right)\)は実部。
\(\Im\left(z\right)\)は実部。

(1)

\begin{align*} \Re\left(-z\right) & =\Re\left(-\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Re\left(-\Re\left(z\right)-i\Im\left(z\right)\right)\\ & =-\Re\left(z\right) \end{align*}

(2)

\begin{align*} \Im\left(-z\right) & =\Im\left(-\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Im\left(-\Re\left(z\right)-i\Im\left(z\right)\right)\\ & =-\Im\left(z\right) \end{align*}

(3)

\begin{align*} \Re\left(iz\right) & =\Re\left(i\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Re\left(i\Re\left(z\right)-\Im\left(z\right)\right)\\ & =-\Im\left(z\right) \end{align*}

(4)

\begin{align*} \Im\left(iz\right) & =\Im\left(i\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Im\left(i\Re\left(z\right)-\Im\left(z\right)\right)\\ & =\Re\left(z\right) \end{align*}

(5)

\begin{align*} \Re\left(\left|a\right|z\right) & =\Re\left(\left|a\right|\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Re\left(\left|a\right|\Re\left(z\right)+i\left|a\right|\Im\left(z\right)\right)\\ & =\left|a\right|\Re\left(z\right) \end{align*}

(6)

\begin{align*} \Im\left(\left|a\right|z\right) & =\Im\left(\left|a\right|\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\right)\\ & =\Im\left(\left|a\right|\Re\left(z\right)+i\left|a\right|\Im\left(z\right)\right)\\ & =\left|a\right|\Im\left(z\right) \end{align*}