量化子(全称命題・存在命題)と空集合
量化子(全称命題・存在命題)と空集合
量化子(全称命題・存在命題)は空集合も考慮すると次のようになる。
量化子(全称命題・存在命題)は空集合も考慮すると次のようになる。
(1)
\[ \forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top \](2)
\[ \exists x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\bot \](3)
\[ \forall x\in X,\top\Leftrightarrow\top \](4)
\[ \forall x\in X,\bot\Leftrightarrow\begin{cases} \top & X=\emptyset\\ \bot & X\ne\emptyset \end{cases} \](5)
\[ \exists x\in X,\top\Leftrightarrow\begin{cases} \bot & X=\emptyset\\ \top & X\ne\emptyset \end{cases} \](6)
\[ \exists x\in X,\bot\Leftrightarrow\bot \](7)
\[ \forall xP\left(x\right)\rightarrow\exists xP\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x\top \] 空集合の場合は右辺は偽\(\bot\),空集合でない場合は真となる。(1)
空集合の場合は\(\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\)は\(x\)となる元が1つもないので全ての元について\(P\left(x\right)\)は真となる。故に題意は成り立つ。
(1)-2
\begin{align*} \forall x\in\emptyset,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\forall x\in\emptyset,x\in\emptyset\rightarrow P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\in\emptyset,\top\\ & \Leftrightarrow\top \end{align*}(2)
空集合の場合は\(\exists x\in\emptyset,P\left(x\right)\)は\(x\)となる元が1つもないので1つも\(P\left(x\right)\)は真とはなれない。故に題意は成り立つ。
(2)-2
\begin{align*} \exists x\in\emptyset,P\left(x\right) & \Leftrightarrow\exists x\in\emptyset,x\in\emptyset\land P\left(x\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\in\emptyset,\bot\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*}(2)-3
対偶をとると、\(\left(\forall a\in\emptyset,\lnot P\left(a\right)\right)\Leftrightarrow\top\)となり、\(\lnot P\left(a\right)\)を\(P\left(a\right)\)と置きなおすと、\(\left(\forall a\in\emptyset,P\left(a\right)\right)\Leftrightarrow\top\)となり(1)となるので与式は成り立つ。(3)
\(X\)が空集合でない場合は明らかに成り立つ。\(X\)が空集合の場合は\(x\)になる元が1つもないので全ての元に付いて成り立っていて\(\top\)となる。
(4)
\(X\)が空集合でない場合は明らかに成り立つ。\(X\)が空集合の場合は\(x\)になる元が1つもないので全ての元に付いて成り立っていて\(\top\)となる。
(5)
\(X\)が空集合でない場合は明らかに成り立つ。\(X\)が空集合の場合は\(x\)になる元が1つもないので成り立っている元が1つもないので\(\bot\)となる。
(6)
\(X\)が空集合でない場合は明らかに成り立つ。\(X\)が空集合の場合は\(x\)になる元が1つもないので成り立っている元が1つもないので\(\bot\)となる。
(7)
\begin{align*} \forall xP\left(x\right)\rightarrow\exists xP\left(x\right) & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall xP\right)\lor\exists xP\\ & \Leftrightarrow\exists x\lnot P\lor\exists xP\\ & \Leftrightarrow\exists x\left(\lnot P\lor P\right)\\ & \Leftrightarrow\exists x\top \end{align*}ページ情報
タイトル | 量化子(全称命題・存在命題)と空集合 |
URL | https://www.nomuramath.com/egomo1cd/ |
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量化記号(全称命題・存在命題)の分配
\[
\exists x\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\lor\exists xQ\left(x\right)
\]
全称命題と存在命題の否定と部分否定・全否定
\[
\lnot\forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,\lnot P\left(x\right)
\]
3つのうち1つを消したものとの包含関係
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Rightarrow P\lor Q
\]
分配法則一覧
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right)
\]