(1)

\(\Rightarrow\)

\(f\)が凸関数であるとき、任意の\(x_{1},x_{2}\)と任意の\(t\in\left[0,1\right]\)に対し、
\begin{align*} f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right)-tf\left(x_{1}\right)-\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right) & \leq0 \end{align*} となる。
\(h\rightarrow0\)として、\(x_{2}\rightarrow x_{1}+h\)にすると、
\begin{align*} & f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)\left(x_{1}+h\right)\right)-tf\left(x_{1}\right)-\left(1-t\right)f\left(x_{1}+h\right)\leq0\\ \Leftrightarrow & f\left(x_{1}+\left(1-t\right)h\right)-tf\left(x_{1}\right)-\left(1-t\right)f\left(x_{1}+h\right)\leq0 \end{align*} ここで\(f\)を\(h\)の2次まで展開すると、
\begin{align*} & f\left(x_{1}\right)+f'\left(x_{1}\right)\left(1-t\right)h+\frac{1}{2}f''\left(x_{1}\right)\left(1-t\right)^{2}h^{2}-tf\left(x_{1}\right)-\left(1-t\right)\left\{ f\left(x_{1}\right)+f'\left(x_{1}\right)h+\frac{1}{2}f''\left(x_{1}\right)h^{2}\right\} \leq0\\ \Leftrightarrow & \left(1-t\right)t\frac{1}{2}f''\left(x_{1}\right)h^{2}\geq0 \end{align*} となり、任意の\(t\in\left[0,1\right]\)に対して成り立つので\(t=\frac{1}{2}\)ととると、\(f''\left(x_{1}\right)\geq0\)となり、\(x_{1}\)は任意なので、\(f''\left(x\right)\geq0\)となる。

\(\Leftarrow\)

\[ x_{1}<x<x_{2} \] を満たすとき、平均値の定理より、
\[ \begin{cases} f'\left(a\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(x_{1}\right)}{x-x_{1}} & x_{1}<a<x\\ f'\left(b\right)=\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x\right)}{x_{2}-x} & x<a<x_{2} \end{cases} \] となる。
\(f''\left(x\right)\geq0\)より、\(f'\left(x\right)\)は単調増加であり、\(f'\left(a\right)\leq f'\left(b\right)\)となるので、
\[ \frac{f\left(x\right)-f\left(x_{1}\right)}{x-x_{1}}\leq\frac{f\left(x_{2}\right)-f\left(x\right)}{x_{2}-x} \] となる。
これより、\(0<x-x_{1},0<x_{2}-x\)より、
\begin{align*} & \left(f\left(x\right)-f\left(x_{1}\right)\right)\left(x_{2}-x\right)\leq\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x\right)\right)\left(x-x_{1}\right)\\ \Leftrightarrow & \left(f\left(x\right)-f\left(x_{1}\right)\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)+\left(f\left(x\right)-f\left(x_{1}\right)\right)\left(x_{1}-x\right)\leq\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x\right)\right)\left(x-x_{1}\right)\\ \Leftrightarrow & \left(f\left(x\right)-f\left(x_{1}\right)\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)\leq\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right)\left(x-x_{1}\right)\\ \Leftrightarrow & f\left(x\right)\leq\frac{\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right)}{x_{2}-x_{1}}\left(x-x_{1}\right)+f\left(x_{1}\right) \end{align*} ここで、\(t\in\left[0,1\right]\)として\(x=tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\)を代入すると、\(x-x_{1}=\left(1-t\right)\left(x_{2}-x_{1}\right)\)なので、
\begin{align*} f\left(tx_{1}+\left(1-t\right)x_{2}\right) & \leq\left(f\left(x_{2}\right)-f\left(x_{1}\right)\right)\left(1-t\right)+f\left(x_{1}\right)\\ & =tf\left(x_{1}\right)+\left(1-t\right)f\left(x_{2}\right) \end{align*} となり、\(f\left(x\right)\)は凸関数となる。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので、\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(2)

\(\Rightarrow\)

(1)と同じようにすればいい。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(f\left(x\right)=x^{4}\)のとき狭義凸関数であるが\(f''\left(0\right)=0\)である。
従って\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。

(3)

(1)と同じようにすればいい。

(4)

(2)と同じようにすればいい。