偏角と剰余の関係

by nomura · 2021年6月28日

偏角と剰余の関係

(1)

偏角が\([a,a+2\pi)\)のとき
\[ \Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),2\pi,a\right) \] 偏角が\((a-2\pi,a]\)のとき
\[ \Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),-2\pi,a\right) \] となる。
偏角が\((-\pi,\pi]\)のとき
\[ \Arg\alpha=\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),-2\pi,\pi\right) \] となる。

(2)

\(x\in\mathbb{R}\)とする。
偏角が\([a,a+2\pi)\)のとき
\[ \Arg\left(e^{ix}\right)=\mod\left(x,2\pi,a\right) \] 偏角が\((a-2\pi,a]\)のとき
\[ \Arg\left(e^{ix}\right)=\mod\left(x,-2\pi,a\right) \] となる。
偏角が\((-\pi,\pi]\)のとき
\[ \Arg\left(e^{ix}\right)=\mod\left(x,-2\pi,\pi\right) \] となる。

(1)

偏角が\([a,a+2\pi)\)のとき
\begin{align*} \Arg\alpha & =\Arg\left(\left|\alpha\right|e^{i\Arg\left(\alpha\right)}\right)\\ & =\Arg\left(e^{i\Arg\left(\alpha\right)}\right)\\ & =\mod\left(\Arg\left(\alpha\right),2\pi,a\right) \end{align*} その他も同様。