分配法則一覧
分配法則一覧
\(P,Q,R\)は命題変数とする。
\(P,Q,R\)は命題変数とする。
(1)重要
\[ P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \](2)
\[ P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \](3)重要
\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \](4)
\[ P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \](5)
\[ P\rightarrow\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \](6)
\[ P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \](7)
\[ P\leftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \](8)
\[ P\nleftarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \](1)
\begin{align*} P\lor\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\begin{cases} Q\land R & P\leftrightarrow0\\ 1 & P\leftrightarrow1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\begin{cases} \left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) & P\leftrightarrow0\\ \left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) & P\leftrightarrow1 \end{cases}\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right) \end{align*}(2)
(1)より、\begin{align*} P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow P\lor\left(\left(\lnot Q\lor R\right)\land\left(Q\lor\lnot R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\lor R\right)\land\left(P\lor Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor R\lor\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\right)\land\left(P\lor Q\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\left(P\lor R\right)\lor\lnot\left(P\lor Q\right)\right)\land\left(\left(P\lor Q\right)\lor\lnot\left(P\lor R\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(P\lor R\right) \end{align*}
(3)
(1)の対偶をとると、\[ \lnot P\land\left(\lnot Q\lor\lnot R\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\lor\left(\lnot P\land\lnot R\right) \] \(\lnot P\)を\(P\)に、\(\lnot Q\)を\(Q\)に、\(\lnot R\)を\(R\)に置き換えると、
\[ P\land\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\lor\left(P\land R\right) \] となる。
(4)
(2)の対偶をとると、\[ \lnot P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\nleftrightarrow\left(\lnot P\land\lnot R\right) \] \(\lnot P\)を\(P\)に、\(\lnot Q\)を\(Q\)に、\(\lnot R\)を\(R\)に置き換えると、
\[ P\land\left(Q\nleftrightarrow R\right)\Leftrightarrow\left(P\land Q\right)\nleftrightarrow\left(P\land R\right) \]
(5)
(1)より、\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\land R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\land\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
(6)
(3)より\begin{align*} P\rightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\leftrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\lor Q\right)\leftrightarrow\left(\lnot P\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\rightarrow Q\right)\leftrightarrow\left(P\rightarrow R\right) \end{align*}
(7)
(1)より、\begin{align*} P\leftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow P\lor\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(\lnot Q\land\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\lor\lnot Q\right)\land\left(P\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\leftarrow Q\right)\land\left(P\leftarrow R\right) \end{align*}
(8)
(3)より、\begin{align*} P\nleftarrow\left(Q\lor R\right) & \Leftrightarrow\lnot P\land\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(\lnot P\land Q\right)\lor\left(\lnot P\land R\right)\\ & \Leftrightarrow\left(P\nleftarrow Q\right)\lor\left(P\nleftarrow R\right) \end{align*}
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2引数が同じ3引数の論理演算子
\[
P\lor\left(P\land Q\right)\Leftrightarrow P
\]
量化子(全称命題・存在命題)と空集合
\[
\forall x\in\emptyset,P\left(x\right)\Leftrightarrow\top
\]
全称命題と存在命題の否定と部分否定・全否定
\[
\lnot\forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,\lnot P\left(x\right)
\]
存在命題(論理和)と全称命題(論理積)の順序変更
\[
\exists x\in X,\forall y\in Y,P\left(x,y\right)\Rightarrow\forall y\in Y,\exists x\in X,P\left(x,y\right)
\]