チェビシェフ多項式の別表記
チェビシェフ多項式の別表記
(1)
\[ T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \](2)
\[ U_{n-1}(x)=\frac{1}{2i\sqrt{1-x^{2}}}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}-\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \](1)
\begin{align*} T_{n}(x) & =\cos\left(n\cos^{\bullet}x\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(e^{in\cos^{\bullet}x}+e^{-in\cos^{\bullet}x}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(e^{i\cos^{\bullet}x}\right)^{n}+\left(e^{-i\cos^{\bullet}x}\right)^{n}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(\cos\cos^{\bullet}x+i\sin\cos^{\bullet}x\right)^{n}+\left(\cos\cos^{\bullet}x-i\sin\cos^{\bullet}x\right)^{n}\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} U_{n-1}(x) & =\frac{\sin(n\cos^{\bullet}x)}{\sin\cos^{\bullet}x}\\ & =\frac{1}{2i\sqrt{1-x^{2}}}\left(e^{in\cos^{\bullet}x}-e^{-in\cos^{\bullet}x}\right)\\ & =\frac{1}{2i\sqrt{1-x^{2}}}\left(\left(\cos\cos^{\bullet}x+i\sin\cos^{\bullet}x\right)^{n}-\left(\cos\cos^{\bullet}x-i\sin\cos^{\bullet}x\right)^{n}\right)\\ & =\frac{1}{2i\sqrt{1-x^{2}}}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}-\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \end{align*}ページ情報
| タイトル | チェビシェフ多項式の別表記 |
| URL | https://www.nomuramath.com/f28r2kv8/ |
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チェビシェフ多項式の級数表示
\[
T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\left(C(n,2k)\left(-1\right)^{k}\left(1-x^{2}\right)^{k}x^{n-2k}\right)
\]
第3種・第4種チェビシェフ多項式の定義
\[
V_{n}(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\cos^{\bullet}x\right)}{\cos\left(\frac{1}{2}\cos^{\bullet}x\right)}
\]
第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
\[
nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x)
\]
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
\[
U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x)
\]