y/xを求める問題

両辺に\(xy\left(x-y\right)\ne0\)をかけて、
\[ y\left(x-y\right)+x\left(x-y\right)=xy \] これより、
\begin{align*} 0 & =x^{2}-xy-y^{2}\\ & =-x^{2}\left(\left(\frac{y}{x}\right)^{2}+\left(\frac{y}{x}\right)-1\right) \end{align*} \(x\ne0\)なので
\[ \left(\frac{y}{x}\right)^{2}+\left(\frac{y}{x}\right)-1=0 \] これを\(\frac{y}{x}\)について解くと、
\begin{align*} \frac{y}{x} & =\frac{-1\pm\sqrt{1+4}}{2}\\ & =\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2} \end{align*} \(0<x<y\)なので、\(1<\frac{y}{x}\)であるので、
\[ \frac{y}{x}=\frac{-1+\sqrt{5}}{2} \] となる。