連結部分集合・弧状連結部分集合・連結成分・弧状連結成分・完全不連結の定義
連結部分集合・弧状連結部分集合・連結成分・弧状連結成分・完全不連結の定義
この同値関係\(\sim\)による同値類を\(X\)の連結成分といい、\(x\in X\)を要素に持つ連結成分を\(C_{x}\)や\(C_{X}\left(x\right)\)で表す。
これは任意の\(\lambda\in\Lambda\)に対し\(A_{\lambda}\)は\(x\)を要素に持つ連結集合とすると\(C_{x}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)となる。
また、\(x\in C_{x}\)なので\(\Lambda\ne\emptyset\)となる。
連結成分は極大な連結部分集合である。
この同値関係\(\sim\)による同値類を\(X\)の弧状連結成分といい、\(x\in X\)を要素に持つ弧状連結成分を\(\pi_{x}\)や\(\pi_{X}\left(x\right)\)で表す。
弧状連結成分は極大な弧状連結部分集合である。
また位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の部分空間\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)が完全不連結空間であるとき、\(A\)を完全不連結集合という。
(1)連結部分集合
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)上の連結な部分集合を連結部分集合という。(2)弧状連結部分集合
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)上の弧状連結な部分集合を弧状連結部分集合という。(3)連結成分
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)上の2項関係\(\sim\)をある\(X\)の部分集合\(A\subseteq X\)が連結で\(x\in A\land y\in A\)を満たすとき\(x\sim y\)と定義すると、2項関係\(\sim\)は同値関係を満たす。この同値関係\(\sim\)による同値類を\(X\)の連結成分といい、\(x\in X\)を要素に持つ連結成分を\(C_{x}\)や\(C_{X}\left(x\right)\)で表す。
これは任意の\(\lambda\in\Lambda\)に対し\(A_{\lambda}\)は\(x\)を要素に持つ連結集合とすると\(C_{x}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)となる。
また、\(x\in C_{x}\)なので\(\Lambda\ne\emptyset\)となる。
連結成分は極大な連結部分集合である。
(4)弧状連結成分
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)上の2点\(x,y\in X\)を道で繋ぐことができるという関係は同値関係\(\sim\)になる。この同値関係\(\sim\)による同値類を\(X\)の弧状連結成分といい、\(x\in X\)を要素に持つ弧状連結成分を\(\pi_{x}\)や\(\pi_{X}\left(x\right)\)で表す。
弧状連結成分は極大な弧状連結部分集合である。
(5)完全不連結
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)があるとき、\(X\)の任意の点\(x\in X\)に対し、\(x\)を要素に含む連結成分\(C_{x}\)が\(C_{x}=\left\{ x\right\} \)となるとき、\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)を完全不連結空間という。また位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の部分空間\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)が完全不連結空間であるとき、\(A\)を完全不連結集合という。
連結成分で2項関係\(\sim\)が同値関係を満たす証明
反射率は明らかに成り立つ。
対称律も2項関係\(\sim\)の定義から明らかに成り立つ。
推移律は\(x\sim y\land y\sim z\)であるならばある連結集合\(A\subseteq X\)が存在し\(x\in A\land y\in A\)であり、ある連結集合\(B\subseteq X\)が存在する。
このとき、\(y\in B\land z\in B\)となり、\(\emptyset\ne\left\{ y\right\} \subseteq A\cap B\)なので\(A\cup B\)も連結集合となり\(x\in A\cup B\land z\in A\cup B\)となるので\(x\sim z\)であり、推移律を満たす。
故に反射律・対称律・推移律を満たすので同値類となる。
反射率は明らかに成り立つ。
対称律も2項関係\(\sim\)の定義から明らかに成り立つ。
推移律は\(x\sim y\land y\sim z\)であるならばある連結集合\(A\subseteq X\)が存在し\(x\in A\land y\in A\)であり、ある連結集合\(B\subseteq X\)が存在する。
このとき、\(y\in B\land z\in B\)となり、\(\emptyset\ne\left\{ y\right\} \subseteq A\cap B\)なので\(A\cup B\)も連結集合となり\(x\in A\cup B\land z\in A\cup B\)となるので\(x\sim z\)であり、推移律を満たす。
故に反射律・対称律・推移律を満たすので同値類となる。
連結成分の例
位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)の連結成分は\(C_{a}=\left\{ a\right\} ,C_{b}=\left\{ b,c\right\} \)となる。弧状連結成分の例
位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b,c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)の弧状連結成分は\(\pi_{a}=\left\{ a\right\} ,\pi_{b}=\left\{ b,c\right\} \)となる。完全不連結の例
\(2\leq\left|X\right|\)となる離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は任意の\(a,b\in X\)に対し、\(a\ne b\)であれば\(\left\{ a\right\} \)は閉集合かつ開集合なので\(\left\{ a,b\right\} \)は非連結となり、\(a\nsim b\)となる。これより\(x\)を含む連結成分は\(C_{x}=\left\{ x\right\} \)となるので\(\left(X,2^{X}\right)\)は完全不連結空間となる。
\(\left|X\right|=1\)となる離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は\(\left(\left\{ x\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ x\right\} \right\} \right)\)の形で表され、明らかに\(C_{x}=\left\{ x\right\} \)となるので完全不連結空間となる。
完全不連結の例-2
上限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は完全不連結空間となる。何故なら連結成分が\(C_{x}\ne\left\{ x\right\} \)とすると、異なる\(x,y\in C_{x}\)がとれて\(\left(\left(-\infty,\frac{x+y}{2}\right]\cap C_{x}\right)\cup\left(\left(\frac{x+y}{2},\infty\right)\cap C_{x}\right)=C_{x},\left(-\infty,\frac{x+y}{2}\right]\cap\left(\frac{x+y}{2},\infty\right)\cap C_{x}=\emptyset,\left(-\infty,\frac{x+y}{2}\right]\cap C_{x}\ne\emptyset,\left(\frac{x+y}{2},\infty\right)\cap C_{x}\ne0\)となるので\(x,y\in C_{x}\)と矛盾する。
従って\(C_{x}=\left\{ x\right\} \)となり完全不連結空間となる。
完全不連結の例-3
通常位相\(\left(\mathbb{Q},\mathcal{O}_{n}\right)\)は完全不連結空間となる。何故なら連結成分が\(C_{x}\ne\left\{ x\right\} \)とすると、異なる\(x,y\in C_{x}\)がとれて、\(x\)と\(y\)の間に無理数\(z\in C_{x}\)が存在し、\(\left(\left(-\infty,z\right)\cap C_{x}\right)\cup\left(\left(z,\infty\right)\cap C_{x}\right)=C_{x},\left(-\infty,z\right)\cap\left(z,\infty\right)\cap C_{x}=\emptyset,\left(-\infty,z\right)\cap C_{x}\ne\emptyset,\left(z,\infty\right)\cap C_{x}\ne0\)となるので\(x,y\in C_{x}\)と矛盾する。
従って\(C_{x}=\left\{ x\right\} \)となり完全不連結空間となる。
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密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)の連結成分・弧状連結線分は共に\(\left\{ a,b\right\} \)となる。シェルピンスキー空間\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)の連結成分・弧状連結線分は共に\(\left\{ a,b\right\} \)となる。
離散位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)の連結成分・弧状連結線分は共に\(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \)となる。
ページ情報
| タイトル | 連結部分集合・弧状連結部分集合・連結成分・弧状連結成分・完全不連結の定義 |
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連結成分・弧状連結成分と開集合・閉集合の関係
弧状連結と連結の関係
弧状連結ならば連結。
位相空間で連結集合同士の積集合が空集合でなければ和集合は連結
連結空間の閉包・内部
連結であれば閉包も連結になる。