実数では補有限位相は通常位相より弱い
実数では補有限位相は通常位相より弱い
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に補有限位相\(\mathcal{O}_{c}\)を入れた補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)は通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)より弱い位相、すなわち\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}\)である。
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に補有限位相\(\mathcal{O}_{c}\)を入れた補有限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)は通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)より弱い位相、すなわち\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}\)である。
\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)では\(\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} \)は開集合なので\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)でもは\(\mathbb{R}\setminus\left\{ 0\right\} \)は開集合となる。
\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{c}\right)\)での閉集合全体の集合を\(\mathcal{F}_{c}\)として、\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)での閉集合全体の集合を\(\mathcal{F}_{n}\)とする。
このとき、任意の\(F\in\mathcal{F}_{c}\)に対し、\(F\)は有限個の点の和集合なので\(F\in\mathcal{F}_{n}\)となる。
従って、任意の\(F^{c}=O\in\mathcal{O}_{c}\)に対し、\(F^{c}=O\in\mathcal{O}_{n}\)となるので\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}\)となるので題意は成り立つ。
このとき、任意の\(F\in\mathcal{F}_{c}\)に対し、\(F\)は有限個の点の和集合なので\(F\in\mathcal{F}_{n}\)となる。
従って、任意の\(F^{c}=O\in\mathcal{O}_{c}\)に対し、\(F^{c}=O\in\mathcal{O}_{n}\)となるので\(\mathcal{O}_{c}\subseteq\mathcal{O}_{n}\)となるので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 実数では補有限位相は通常位相より弱い |
| URL | https://www.nomuramath.com/fcb4ivrq/ |
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補有限位相の定義
\[
\mathcal{O}_{c}=\left\{ A\subseteq X;\left|A^{c}\right|<\infty\right\} \land\left\{ \emptyset\right\}
\]
補有限位相の第1可算性・第2可算性
有限補有限位相は離散位相
\[
\left|X\right|<\infty\leftrightarrow\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)=\left(X,2^{X}\right)
\]
実数の補有限位相は弧状連結・連結