包含写像・射影・商写像は連続写像

by nomura · 2024年8月30日

包含写像・射影・商写像は連続写像
包含写像・射影・商写像は連続写像となる。

(1)

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$と部分集合$A\subseteq X$があるとき、包含写像$\iota:A\rightarrow X$は連続写像となる。

(2)

位相空間$\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)$があるとき、射影$\pi_{X}:X\times Y\rightarrow X$は連続写像となる。

(3)

位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$と商集合$X\setminus\sim$があるとき、商写像$f:X\rightarrow X\setminus\sim$は連続写像となる。

(1)

$A$での部分位相$\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)$は$\mathcal{O}_{A}=\left\{ O\cap A;O\in\mathcal{O}\right\} $なので、任意の$O\in\mathcal{O}$に対し、$\iota^{\bullet}\left(O\right)=A\cap O\in\mathcal{O}_{A}$となるので$\iota$は連続写像になる。

(2)

$Y\in\mathcal{O}_{Y}$であり、$X\times Y$での位相を$\mathcal{O}_{X\times Y}$とする。
任意の$O_{X}\in\mathcal{O}_{X}$に対し、$O_{X}\times Y$は$\mathcal{O}_{X\times Y}$の開基になるので$\pi_{X}^{\bullet}\left(O_{X}\right)=O_{X}\times Y\in\mathcal{O}_{X\times Y}$となり、$\pi_{X}$は連続写像になる。

(3)

$X\setminus\sim$の開集合全体の集合は$\mathcal{O}_{X\setminus\sim}=\left\{ O_{X\setminus\sim};f^{\bullet}\left(O_{X\setminus\sim}\right)\in\mathcal{O}_{X}\right\} $なので連続写像となる。

ページ情報

タイトル	包含写像・射影・商写像は連続写像
URL	https://www.nomuramath.com/fg4a1dnk/
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