包含写像・射影・商写像は連続写像
包含写像・射影・商写像は連続写像
包含写像・射影・商写像は連続写像となる。
包含写像・射影・商写像は連続写像となる。
(1)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)と部分集合\(A\subseteq X\)があるとき、包含写像\(\iota:A\rightarrow X\)は連続写像となる。(2)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}_{X}\right),\left(Y,\mathcal{O}_{Y}\right)\)があるとき、射影\(\pi_{X}:X\times Y\rightarrow X\)は連続写像となる。(3)
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)と商集合\(X\setminus\sim\)があるとき、商写像\(f:X\rightarrow X\setminus\sim\)は連続写像となる。(1)
\(A\)での部分位相\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)は\(\mathcal{O}_{A}=\left\{ O\cap A;O\in\mathcal{O}\right\} \)なので、任意の\(O\in\mathcal{O}\)に対し、\(\iota^{\bullet}\left(O\right)=A\cap O\in\mathcal{O}_{A}\)となるので\(\iota\)は連続写像になる。(2)
\(Y\in\mathcal{O}_{Y}\)であり、\(X\times Y\)での位相を\(\mathcal{O}_{X\times Y}\)とする。任意の\(O_{X}\in\mathcal{O}_{X}\)に対し、\(O_{X}\times Y\)は\(\mathcal{O}_{X\times Y}\)の開基になるので\(\pi_{X}^{\bullet}\left(O_{X}\right)=O_{X}\times Y\in\mathcal{O}_{X\times Y}\)となり、\(\pi_{X}\)は連続写像になる。
(3)
\(X\setminus\sim\)の開集合全体の集合は\(\mathcal{O}_{X\setminus\sim}=\left\{ O_{X\setminus\sim};f^{\bullet}\left(O_{X\setminus\sim}\right)\in\mathcal{O}_{X}\right\} \)なので連続写像となる。
ページ情報
| タイトル | 包含写像・射影・商写像は連続写像 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fg4a1dnk/ |
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線形写像全体のなす集合の定義
\[
\hom_{K}\left(V,W\right)
\]
ベクトル空間の次元と同型の関係
\[
\dim V=\dim W<\infty\Rightarrow V\simeq W
\]
ベクトル空間の準同型定理
\[
V/\ker f\simeq\im f
\]
ベクトル空間の商写像
\[
f:V\rightarrow V/N;\boldsymbol{x}\mapsto\boldsymbol{x}+N
\]