連結と非連結の定義
連結と非連結の定義
位相空間で連結と非連結は次のように定義される。
すなわち、
\[ \exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset \] である。
\(X\)が非連結でないとき、\(X\)は連結であるという。
\[ \exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},A\subseteq O_{1}\cup O_{2}\land A\cap O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land A\cap O_{1}\ne\emptyset\land A\cap O_{2}\ne\emptyset \] となるとき、\(X\)上で\(A\)は非連結という。
これは部分集合\(A\subseteq X\)の部分位相\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)で
\[ \exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O}_{A},A=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset \] となるのと同じである。
\(A\)が非連結でないとき、\(A\)は連結であるという。
位相空間で連結と非連結は次のように定義される。
(1)連結と非連結
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)で\(X\)が2つの空でない開集合の直和で表されるとき非連結という。すなわち、
\[ \exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset \] である。
\(X\)が非連結でないとき、\(X\)は連結であるという。
(2)部分集合の連結と非連結
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)の部分集合\(A\subseteq X\)が\[ \exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},A\subseteq O_{1}\cup O_{2}\land A\cap O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land A\cap O_{1}\ne\emptyset\land A\cap O_{2}\ne\emptyset \] となるとき、\(X\)上で\(A\)は非連結という。
これは部分集合\(A\subseteq X\)の部分位相\(\left(A,\mathcal{O}_{A}\right)\)で
\[ \exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O}_{A},A=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset \] となるのと同じである。
\(A\)が非連結でないとき、\(A\)は連結であるという。
空集合は連結でないとしているので、連結であることと連結成分が1つであることは同値になる。
(1)
密着位相\(\left(X,\left\{ \emptyset,X\right\} \right)\)は連結である。何故なら密着位相は開集合かつ閉集合となるのは\(\emptyset,X\)のみでそれ以外に存在しないので連結となる。
(2)
離散位相\(\left(X,2^{X}\right)\)は\(2\leq X\)のとき非連結である。何故なら任意の\(x\in X\)について\(\left\{ x\right\} \)は空集合でもなく\(2\leq X\)なので全体集合でもなく、開集合かつ閉集合となるからである。
(3)
実数全体の集合\(\mathbb{R}\)に通常の位相\(\mathcal{O}_{n}\)を入れた通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)は連結である。何故なら開集合かつ閉集合となるのは\(\emptyset,\mathbb{R}\)のみでそれ以外に存在しないので連結となる。
(4)
通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)の部分集合\(\left(0,2\right)\)は連結である。何故なら部分位相で開集合かつ閉集合となるのは\(\emptyset,\left(0,2\right)\)のみでそれ以外に存在しないので連結となる。
(5)
通常位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{n}\right)\)で部分集合\(\left(0,1\right)\cup\left(1,2\right)\)は非連結である。何故なら部分位相で\(\left(0,1\right),\left(1,2\right)\)は空集合でも全体集合でもなく、開集合かつ閉集合となるからである。
(6)
通常位相\(\left(\mathbb{Q},\mathcal{O}_{n}\right)\)は連結でない。何故なら\(\left(-\sqrt{2},\sqrt{2}\right)\cap\mathbb{Q}=\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right]\cap\mathbb{Q}\)は\(\mathbb{Q}\)の開集合かつ閉集合であり空集合でも全体集合でもないからである。
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| タイトル | 連結と非連結の定義 |
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