不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
\[ \gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right) \]
\[ \gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right) \]
-
\(\gamma\left(a,x\right)\)は第1種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(x\right)\)はガンマ関数\begin{align*}
\gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right) & =\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt+\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\
& =\int_{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\
& =\Gamma\left(a\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/flyweptl/ |
| SNSボタン |
ガンマ関数の極限問題
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a}
\]
ガンマ関数のルジャンドル倍数公式
\[
\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)
\]
第2種不完全ガンマ関数とガンマ関数の比の極限
\[
\lim_{k\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}=\delta_{0x}
\]
ガンマ関数の微分
\[
\frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z)
\]