ガンマ関数

不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係

by nomura · 2021年2月19日

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不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係

γ (a, x) + Γ (a, x) = Γ (a)

-

γ (a, x)

は第1種不完全ガンマ関数、

Γ (a, x)

は第2種不完全ガンマ関数、

Γ (x)

はガンマ関数

\begin{aligned} γ (a, x) + Γ (a, x) & = \int_{0}^{x} t^{a - 1} e^{- t} d t + \int_{x}^{\infty} t^{a - 1} e^{- t} d t \\ = \int_{0}^{\infty} t^{a - 1} e^{- t} d t \\ = Γ (a) \end{aligned}

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タイトル	不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
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ガンマ関数の非正整数近傍での値

lim_{ϵ \to \pm 0} Γ (- ϵ) = - lim_{ϵ \to \pm 0} Γ (ϵ)

ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数

\log Γ (x + 1) = - γ x + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{(- 1)^{k} ζ (k)}{k} x^{k}

ガンマ関数の漸化式

Γ (z + 1) = z Γ (z)

ガンマ関数のルジャンドル倍数公式

Γ (2 z) = \frac{2^{2 z - 1}}{\sqrt{π}} Γ (z) Γ (z + \frac{1}{2})