直和と直積・デカルト冪の定義
直和と直積・デカルト冪の定義
\(A\cap B=\emptyset\)であるとき、\(A+B=A\cup B\)を\(A\)と\(B\)の直和という。
\(A\cap B\ne\emptyset\)であるときは\(A\)と\(B\)が交わらないようにして\(A+B=\left(A\times\left\{ 1\right\} \right)\cup\left(B,\left\{ 2\right\} \right)\)を\(A\)と\(B\)の直和という。
すなわち、
\[ A\times B=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \] である。
\begin{align*} \prod_{k=1}^{n}A_{k} & :=A_{1}\times A_{2}\times\cdots\times A_{n}\\ & =\left\{ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right);a_{k}\in A_{k},k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \end{align*} となる。
ただし、この順序対を使った表現では\(n\)が有限ではない場合には適用できないので注意が必要である。
\(A_{k}=A\)の場合は\(A^{n}\)とも表される。
\[ \prod_{k=1}^{n}A_{k}=\left\{ f:\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}A_{k};f\left(k\right)\in A_{k},k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \] と表される。
これは、\(f_{k}:=f\left(k\right)\)とおくと、
\[ \prod_{k=1}^{n}A_{k}=\left\{ \left(f_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} };f_{k}\in A_{k},k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \]
\[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda},\lambda\in\Lambda\right\} \] となる。
この写像を使った表現では\(\Lambda\)の濃度は有限でも不可算無限でも適用できる。
これは、\(f_{\lambda}:=f\left(\lambda\right)\)とおくと、
\[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ \left(f_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda};f_{\lambda}\in A_{\lambda},\lambda\in\Lambda\right\} \] となる。
\(A_{\lambda}=A\)の場合は\(A^{\Lambda}\)とも表される。
非負整数\(n\in\mathbb{N}_{0}\)に対し、
\begin{align*} A^{n} & =\prod_{\text{k=1}}^{n}A\\ & =\underbrace{A\times A\times\cdots\times A}_{n}\\ & =\left\{ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right);a_{k}\in A,k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \end{align*} となり、添字集合\(\Lambda\)に対し、
\begin{align*} A^{\Lambda} & =\prod_{\lambda\in\Lambda}A\\ & =\left\{ \left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda};a_{\lambda}\in A,\lambda\in\Lambda\right\} \\ & =\mathrm{Map}\left(\Lambda,A\right) \end{align*} は\(\Lambda\)から\(A\)への写像全体の集合となる。
(1)直和
集合\(A,B\)がある。\(A\cap B=\emptyset\)であるとき、\(A+B=A\cup B\)を\(A\)と\(B\)の直和という。
\(A\cap B\ne\emptyset\)であるときは\(A\)と\(B\)が交わらないようにして\(A+B=\left(A\times\left\{ 1\right\} \right)\cup\left(B,\left\{ 2\right\} \right)\)を\(A\)と\(B\)の直和という。
(2)順序対による有限濃度の直積
集合\(A,B\)があるとき、任意の元、\(a\in A,b\in B\)の順序対\(\left(a,b\right)\)全ての集合を\(A\)と\(B\)の直積といい、\(A\times B\)で表す。すなわち、
\[ A\times B=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \] である。
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\(n\)個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\)の直積は順序対を使って、\begin{align*} \prod_{k=1}^{n}A_{k} & :=A_{1}\times A_{2}\times\cdots\times A_{n}\\ & =\left\{ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right);a_{k}\in A_{k},k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \end{align*} となる。
ただし、この順序対を使った表現では\(n\)が有限ではない場合には適用できないので注意が必要である。
\(A_{k}=A\)の場合は\(A^{n}\)とも表される。
(3)写像による任意濃度の直積
\(n\)個の集合\(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\)の直積は写像\(f\)を使って、\[ \prod_{k=1}^{n}A_{k}=\left\{ f:\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}A_{k};f\left(k\right)\in A_{k},k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \] と表される。
これは、\(f_{k}:=f\left(k\right)\)とおくと、
\[ \prod_{k=1}^{n}A_{k}=\left\{ \left(f_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} };f_{k}\in A_{k},k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \]
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集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)の直積は、\[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda},\lambda\in\Lambda\right\} \] となる。
この写像を使った表現では\(\Lambda\)の濃度は有限でも不可算無限でも適用できる。
これは、\(f_{\lambda}:=f\left(\lambda\right)\)とおくと、
\[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ \left(f_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda};f_{\lambda}\in A_{\lambda},\lambda\in\Lambda\right\} \] となる。
\(A_{\lambda}=A\)の場合は\(A^{\Lambda}\)とも表される。
(3)デカルト冪
集合\(A\)同士の直積を\(A\)のデカルト冪という。非負整数\(n\in\mathbb{N}_{0}\)に対し、
\begin{align*} A^{n} & =\prod_{\text{k=1}}^{n}A\\ & =\underbrace{A\times A\times\cdots\times A}_{n}\\ & =\left\{ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right);a_{k}\in A,k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right\} \end{align*} となり、添字集合\(\Lambda\)に対し、
\begin{align*} A^{\Lambda} & =\prod_{\lambda\in\Lambda}A\\ & =\left\{ \left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda};a_{\lambda}\in A,\lambda\in\Lambda\right\} \\ & =\mathrm{Map}\left(\Lambda,A\right) \end{align*} は\(\Lambda\)から\(A\)への写像全体の集合となる。
(1)
\(A=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} ,B=\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\} \)とすると、\begin{align*} A\times B & =\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \times\left\{ b_{1},b_{2},b_{3}\right\} \\ & =\left\{ \left(a_{1},b_{1}\right),\left(a_{1},b_{2}\right),\left(a_{1},b_{3}\right),\left(a_{2},b_{1}\right),\left(a_{2},b_{2}\right),\left(a_{2},b_{3}\right)\right\} \end{align*} となる。
(2)
\(A=\left\{ a,b\right\} \)とすると、\begin{align*} A^{2} & =A\times A\\ & =\left\{ a,b\right\} \times\left\{ a,b\right\} \\ & =\left\{ \left(a,a\right),\left(a,b\right),\left(b,a\right),\left(b,b\right)\right\} \end{align*} となる。
(3)
\[ \prod_{x\in\left\{ a,b\right\} }\left\{ x\right\} =\left\{ f:\left\{ a,b\right\} \rightarrow\left\{ a,b\right\} ;f\left(x\right)=x,x\in\left\{ a,b\right\} \right\} \](4)
\[ \prod_{x\in\mathbb{R}}\left\{ x\right\} =\left\{ f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R};f\left(x\right)=x,x\in\mathbb{R}\right\} \](5)
\begin{align*} A^{\Lambda} & =\left\{ f:\Lambda\rightarrow A\right\} \\ & =\mathrm{Map}\left(\Lambda,A\right) \end{align*}(6)
\[ \exists\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}=\emptyset\rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\emptyset \] 逆は選択公理を認めないと成り立たない。ページ情報
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