距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならばハウスドルフ空間となる。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならばハウスドルフ空間となる。
逆は一般的に成り立たない。
対偶をとると、ハウスドルフ空間でないならば距離空間とはならない。
\(\Rightarrow\)
距離空間\(\left(X,d\right)\)の任意の異なる2点\(x,y\)に対し、\(0<d\left(x,y\right)\)なので\(\epsilon=d\left(x,y\right)\)とおくと、開近傍\(U\left(x,\frac{\epsilon}{2}\right),U\left(y,\frac{\epsilon}{2}\right)\)は\(U\left(x,\frac{\epsilon}{2}\right)\cap U\left(y,\frac{\epsilon}{2}\right)=\emptyset\)を満たすのでハウスドルフ空間になる。\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
上限位相が反例である。
ページ情報
| タイトル | 距離空間ならばハウスドルフ空間 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fs1izgfh/ |
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離散位相は距離化可能
離散位相$\left(X,2^{X}\right)$は離散距離空間$\left(X,d\right)$で距離化可能である。
距離関数は連続関数
距離空間$\left(X,d\right)$の距離関数$d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$は直積距離空間$\left(X\times X,d'\right)$上の連続関数である。
ε近傍(開球)の定義
\[
U\left(a,\epsilon\right)=\left\{ x\in X;d\left(a,x\right)<\epsilon\right\}
\]
距離空間での内点(内部)・外点(外部)・境界(境界点)・触点(閉包)・集積点(導集合)・孤立点の定義
\[
\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]