距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間ならばハウスドルフ空間
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならばハウスドルフ空間となる。
逆は一般的に成り立たない。
距離空間\(\left(X,d\right)\)ならばハウスドルフ空間となる。
逆は一般的に成り立たない。
対偶をとると、ハウスドルフ空間でないならば距離空間とはならない。
\(\Rightarrow\)
距離空間\(\left(X,d\right)\)の任意の異なる2点\(x,y\)に対し、\(0<d\left(x,y\right)\)なので\(\epsilon=d\left(x,y\right)\)とおくと、開近傍\(U\left(x,\frac{\epsilon}{2}\right),U\left(y,\frac{\epsilon}{2}\right)\)は\(U\left(x,\frac{\epsilon}{2}\right)\cap U\left(y,\frac{\epsilon}{2}\right)=\emptyset\)を満たすのでハウスドルフ空間になる。\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない
上限位相が反例である。ページ情報
| タイトル | 距離空間ならばハウスドルフ空間 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fs1izgfh/ |
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全有界ならば有界
全有界ならば有界である。
ルベーグの被覆補題
\[
\diam\left(A\right)<\delta\rightarrow A\subseteq U
\]
距離空間では点列の収束先は一意的
距離空間での開集合と閉集合の定義
\[
\forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]