同値類の性質
同値類の性質
集合\(X\)上に同値関係\(\sim\)が与えられていて、同値関係\(\sim\)による\(a\in X\)の同値類を\(C\left(a\right)\)、すなわち
\[ C\left(a\right)=\left\{ x\in X;a\in X,a\sim x\right\} \] とすると次が成り立つ。
集合\(X\)上に同値関係\(\sim\)が与えられていて、同値関係\(\sim\)による\(a\in X\)の同値類を\(C\left(a\right)\)、すなわち
\[ C\left(a\right)=\left\{ x\in X;a\in X,a\sim x\right\} \] とすると次が成り立つ。
(1)
\[ \forall a\in X,a\in C\left(a\right) \](2)
\[ \forall a,b,c\in X;a,b\in C\left(c\right)\Rightarrow a\sim b \](3)
\[ \forall a,b\in X,a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)=C\left(b\right) \](4)
\[ \forall a,b\in X,a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\ne\emptyset \](5)
\[ \forall a,b\in X,C\left(a\right)\ne C\left(b\right)\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)=\emptyset \](1)
同値関係は反射律を満たすので\(a\sim a\)となる。これより、\(a\in\left\{ x\in X;a\sim x\right\} \)となるので \(a\in C\left(a\right)\)となる。
(2)
\(a,b\in C\left(c\right)\)なので\(a\sim c\land b\sim c\)となり、対称律・推移律より、\(a\sim c\land b\sim c\)\(\Leftrightarrow a\sim c\land c\sim b\)\(\Leftrightarrow a\sim b\)となるので題意は成り立つ。(3)
\(\Rightarrow\)
\(a\sim b\)のとき、\(C\left(a\right)=\left\{ x\in X;a\sim x\right\} =\left\{ x\in X;a\sim x\land a\sim b\right\} =\left\{ x\in X;b\sim x\right\} =C\left(b\right)\)となるので\(a\sim b\Rightarrow C\left(a\right)=C\left(b\right)\)となる。\(\Leftarrow\)
\(C\left(a\right)=C\left(b\right)\)のとき、\(a\in C\left(a\right),b\in C\left(b\right)\)となるが、\(C\left(a\right)=C\left(b\right)\)なので\(a,b\in C\left(a\right)\)とならなければいけないので\(b\in C\left(a\right)\)となる。これより、\(b\in\left\{ x\in X;a\sim x\right\} \)なので\(a\sim b\)となる。
-
故に\(\Rightarrow\)も\(\Leftarrow\)も成り立つので、\(\Leftrightarrow\)が成り立ち\(a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)=C\left(b\right)\)となる。(4)
\(\Rightarrow\)
\(a\sim b\)のとき、\(C\left(a\right)=C\left(b\right)\)となるので\(C\left(a\right)\cap C\left(b\right)=C\left(a\right)\cap C\left(a\right)=C\left(a\right)\ne\emptyset\)となる。\(\Leftarrow\)
\(C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\ne\emptyset\)のとき、\(c\in C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\)となる元が存在し、\(c\in C\left(a\right)\land c\in C\left(b\right)\)となる。これより、\(c\in C\left(a\right)\land c\in C\left(b\right)\Rightarrow a\sim c\land b\sim c\Leftrightarrow a\sim c\land c\sim b\Rightarrow a\sim b\)となる。
-
故に\(\Rightarrow\)も\(\Leftarrow\)も成り立つので、\(\Leftrightarrow\)が成り立ち\(a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\ne\emptyset\)となる。(5)
(3),(4)より、\(\forall a,b\in X,C\left(a\right)=C\left(b\right)\Leftrightarrow a\sim b\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\ne\emptyset\)となるので、\(\forall a,b\in X,C\left(a\right)\ne C\left(b\right)\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)=\emptyset\)となる。
ページ情報
| タイトル | 同値類の性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ftghxh7p/ |
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