ベルヌーイ多項式の定義
ベルヌーイ多項式の定義
ベルヌーイ多項式は次で定義される
\begin{align*} B_{n}\left(x\right) & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}x^{n-k}\\ & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{n-k}x^{k} \end{align*}
ベルヌーイ多項式は次で定義される
\begin{align*} B_{n}\left(x\right) & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}x^{n-k}\\ & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{n-k}x^{k} \end{align*}
-
\(B_{n}\)はベルヌーイ数ベルヌーイ多項式一覧
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline n & B_{n}\left(x\right)\\ \hline 0 & 1\\ \hline 1 & x-\frac{1}{2}\\ \hline 2 & x^{2}-x+\frac{1}{6}\\ \hline 3 & x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x\\ \hline 4 & x^{4}-2x^{3}+x^{2}-\frac{1}{30}\\ \hline 5 & x^{5}-\frac{5}{2}x^{4}+\frac{5}{3}x^{3}-\frac{1}{6}x\\ \hline 6 & x^{6}-3x^{5}+\frac{5}{2}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{42}\\ \hline 7 & x^{7}-\frac{7}{2}x^{6}+\frac{7}{2}x^{5}-\frac{7}{6}x^{3}+\frac{1}{6}x\\ \hline 8 & x^{8}-4x^{7}+\frac{14}{3}x^{6}-\frac{7}{3}x^{4}+\frac{2}{3}x^{2}-\frac{1}{30}\\ \hline 9 & x^{9}-\frac{9}{2}x^{8}+6x^{7}-\frac{21}{5}x^{5}+2x^{3}-\frac{3}{10}x\\ \hline 10 & x^{10}-5x^{9}+\frac{15}{2}x^{8}-7x^{6}+5x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{5}{66}\\ \hline 11 & x^{11}-\frac{11}{2}x^{10}+\frac{55}{6}x^{9}-11x^{7}+11x^{5}-\frac{11}{2}x^{3}+\frac{5x}{6}\\ \hline 12 & x^{12}-6x^{11}+11x^{10}-\frac{33}{2}x^{8}+22x^{6}-\frac{33}{2}x^{4}+5x^{2}-\frac{691}{2730}\\ \hline 13 & x^{13}-\frac{13}{2}x^{12}+13x^{11}-\frac{143}{6}x^{9}+\frac{286}{7}x^{7}-\frac{429}{10}x^{5}+\frac{65}{3}x^{3}-\frac{691}{210}x\\ \hline 14 & x^{14}-7x^{13}+\frac{91}{6}x^{12}-\frac{1001}{30}x^{10}+\frac{143}{2}x^{8}-\frac{1001}{10}x^{6}+\frac{455}{6}x^{4}-\frac{691}{30}x^{2}+\frac{7}{6}\\ \hline 15 & x^{15}-\frac{15}{2}x^{14}+\frac{35}{2}x^{13}-\frac{91}{2}x^{11}+\frac{715}{6}x^{9}-\frac{429}{2}x^{7}+\frac{455}{2}x^{5}-\frac{691}{6}x^{3}+\frac{35}{2}x\\ \hline 16 & x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-\frac{182}{3}x^{12}+\frac{572}{3}x^{10}-429x^{8}+\frac{1820}{3}x^{6}-\frac{1382}{3}x^{4}+140x^{2}-\frac{3617}{510}\\ \hline 17 & x^{17}-\frac{17}{2}x^{16}+\frac{68}{3}x^{15}-\frac{238}{3}x^{13}+\frac{884}{3}x^{11}-\frac{2431}{3}x^{9}+\frac{4420}{3}x^{7}-\frac{23494}{15}x^{5}+\frac{2380}{3}x^{3}-\frac{3617}{30}x\\ \hline 18 & x^{18}-9x^{17}+\frac{51}{2}x^{16}-102x^{14}+442x^{12}-\frac{7293}{5}x^{10}+3315x^{8}-\frac{23494}{5}x^{6}+3570x^{4}-\frac{10851}{10}x^{2}+\frac{43867}{798}\\ \hline 19 & x^{19}-\frac{19}{2}x^{18}+\frac{57}{2}x^{17}-\frac{646}{5}x^{15}+646x^{13}-\frac{12597}{5}x^{11}+\frac{20995}{3}x^{9}-\frac{446386}{35}x^{7}+13566x^{5}-\frac{68723}{10}x^{3}+\frac{43867}{42}x\\ \hline 20 & x^{20}-10x^{19}+\frac{95}{3}x^{18}-\frac{323}{2}x^{16}+\frac{6460}{7}x^{14}-4199x^{12}+\frac{41990}{3}x^{10}-\frac{223193}{7}x^{8}+45220x^{6}-\frac{68723}{2}x^{4}+\frac{219335}{21}x^{2}-\frac{174611}{330} \\\hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|} \hline n & B_{n}\left(x\right)\\ \hline 0 & 1\\ \hline 1 & x-\frac{1}{2}\\ \hline 2 & x^{2}-x+\frac{1}{6}\\ \hline 3 & x^{3}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{1}{2}x\\ \hline 4 & x^{4}-2x^{3}+x^{2}-\frac{1}{30}\\ \hline 5 & x^{5}-\frac{5}{2}x^{4}+\frac{5}{3}x^{3}-\frac{1}{6}x\\ \hline 6 & x^{6}-3x^{5}+\frac{5}{2}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{42}\\ \hline 7 & x^{7}-\frac{7}{2}x^{6}+\frac{7}{2}x^{5}-\frac{7}{6}x^{3}+\frac{1}{6}x\\ \hline 8 & x^{8}-4x^{7}+\frac{14}{3}x^{6}-\frac{7}{3}x^{4}+\frac{2}{3}x^{2}-\frac{1}{30}\\ \hline 9 & x^{9}-\frac{9}{2}x^{8}+6x^{7}-\frac{21}{5}x^{5}+2x^{3}-\frac{3}{10}x\\ \hline 10 & x^{10}-5x^{9}+\frac{15}{2}x^{8}-7x^{6}+5x^{4}-\frac{3}{2}x^{2}+\frac{5}{66}\\ \hline 11 & x^{11}-\frac{11}{2}x^{10}+\frac{55}{6}x^{9}-11x^{7}+11x^{5}-\frac{11}{2}x^{3}+\frac{5x}{6}\\ \hline 12 & x^{12}-6x^{11}+11x^{10}-\frac{33}{2}x^{8}+22x^{6}-\frac{33}{2}x^{4}+5x^{2}-\frac{691}{2730}\\ \hline 13 & x^{13}-\frac{13}{2}x^{12}+13x^{11}-\frac{143}{6}x^{9}+\frac{286}{7}x^{7}-\frac{429}{10}x^{5}+\frac{65}{3}x^{3}-\frac{691}{210}x\\ \hline 14 & x^{14}-7x^{13}+\frac{91}{6}x^{12}-\frac{1001}{30}x^{10}+\frac{143}{2}x^{8}-\frac{1001}{10}x^{6}+\frac{455}{6}x^{4}-\frac{691}{30}x^{2}+\frac{7}{6}\\ \hline 15 & x^{15}-\frac{15}{2}x^{14}+\frac{35}{2}x^{13}-\frac{91}{2}x^{11}+\frac{715}{6}x^{9}-\frac{429}{2}x^{7}+\frac{455}{2}x^{5}-\frac{691}{6}x^{3}+\frac{35}{2}x\\ \hline 16 & x^{16}-8x^{15}+20x^{14}-\frac{182}{3}x^{12}+\frac{572}{3}x^{10}-429x^{8}+\frac{1820}{3}x^{6}-\frac{1382}{3}x^{4}+140x^{2}-\frac{3617}{510}\\ \hline 17 & x^{17}-\frac{17}{2}x^{16}+\frac{68}{3}x^{15}-\frac{238}{3}x^{13}+\frac{884}{3}x^{11}-\frac{2431}{3}x^{9}+\frac{4420}{3}x^{7}-\frac{23494}{15}x^{5}+\frac{2380}{3}x^{3}-\frac{3617}{30}x\\ \hline 18 & x^{18}-9x^{17}+\frac{51}{2}x^{16}-102x^{14}+442x^{12}-\frac{7293}{5}x^{10}+3315x^{8}-\frac{23494}{5}x^{6}+3570x^{4}-\frac{10851}{10}x^{2}+\frac{43867}{798}\\ \hline 19 & x^{19}-\frac{19}{2}x^{18}+\frac{57}{2}x^{17}-\frac{646}{5}x^{15}+646x^{13}-\frac{12597}{5}x^{11}+\frac{20995}{3}x^{9}-\frac{446386}{35}x^{7}+13566x^{5}-\frac{68723}{10}x^{3}+\frac{43867}{42}x\\ \hline 20 & x^{20}-10x^{19}+\frac{95}{3}x^{18}-\frac{323}{2}x^{16}+\frac{6460}{7}x^{14}-4199x^{12}+\frac{41990}{3}x^{10}-\frac{223193}{7}x^{8}+45220x^{6}-\frac{68723}{2}x^{4}+\frac{219335}{21}x^{2}-\frac{174611}{330} \\\hline \end{array} \]
ページ情報
| タイトル | ベルヌーイ多項式の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fw5nzdy3/ |
| SNSボタン |
(*)ベルヌーイ多項式同士の関係
\[
B_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(x\right)
\]
(*)ベルヌーイ多項式と下降階乗
\[
P\left(x,n+1\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{n+1}{k+1}S_{1}\left(n,k\right)\left(B_{k+1}\left(x\right)-B_{k+1}\right)
\]
ベルヌーイ多項式の指数型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\left(x\right)\frac{t^{k}}{k!}=\frac{te^{xt}}{e^{t}-1}
\]
ベルヌーイ多項式の微分表示
\[
B_{n}\left(x\right)=\frac{D}{e^{D}-1}x^{n}
\]