距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
距離空間での集積点と閉包の点列による別定義
距離空間\(\left(X,d\right)\)があるとき次が成り立つ。
すなわち、\(A\in X,x\ni X\)として、
\[ x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x \] である。
すなわち、\(A\in X,x\ni X\)として、
\[ x\in A^{a}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x \] である。
距離空間\(\left(X,d\right)\)があるとき次が成り立つ。
(1)
\(X\)の部分集合を\(A\subseteq X\)として、\(x\in X\)が\(A\)の集積点であることと、ある点列\(\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} \)が存在し\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x\)となることは同値である。すなわち、\(A\in X,x\ni X\)として、
\[ x\in A^{d}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x \] である。
(2)
\(X\)の部分集合を\(A\subseteq X\)として、\(x\in X\)が\(A\)の触点であることと、ある点列\(\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\)が存在し\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x\)となることは同値である。すなわち、\(A\in X,x\ni X\)として、
\[ x\in A^{a}\leftrightarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x \] である。
位相空間でも集積点については\(A\in X,x\ni X\)として、
\[ x\in A^{d}\Leftarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x \] 触点については、\(A\in X,x\ni X\)として、
\[ x\in A^{a}\Leftarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x \] が成り立ちますが、共に\(\Rightarrow\)は一般的に成り立ちません。
\[ x\in A^{d}\Leftarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} ,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x \] 触点については、\(A\in X,x\ni X\)として、
\[ x\in A^{a}\Leftarrow\exists\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A,\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x \] が成り立ちますが、共に\(\Rightarrow\)は一般的に成り立ちません。
(1)
\(\Rightarrow\)
\(x\in X\)が\(A\)の集積点であるとき、集積点の定義より、任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し\(B\left(x,n^{-1}\right)\cap\left(A\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset\)となる。このとき各\(n\)に対し\(x_{n}\in B\left(x,n^{-1}\right)\)を任意に選ぶと、\(d\left(x_{n},x\right)<n^{-1}\)となる。
従って、任意の\(\epsilon>0\)に対し、\(\frac{1}{\epsilon}<N\)となる\(N\in\mathbb{N}\)を選べば、\(N\leq n\rightarrow d\left(x_{n},x\right)<n^{-1}\leq N^{-1}<\epsilon\)となるので、\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x\)となる。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。
\(\Leftarrow\)
ある点列\(\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty}\subseteq A\setminus\left\{ x\right\} \)が存在し\(\lim_{n\rightarrow\infty}x_{n}=x\)となるとき、任意の\(\epsilon>0\)に対しある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\rightarrow d\left(x_{n},x\right)<\epsilon\)であるので、\(d\left(x_{n},x\right)<\epsilon\leftrightarrow x_{n}\in B\left(x,\epsilon\right)\)より、\(N\leq n\rightarrow x_{n}\in B\left(x,\epsilon\right)\)となる。従って、\(x_{n}\in B\left(x,\epsilon\right)\land x_{n}\in A\setminus\left\{ x\right\} \)なので\(x_{n}\in B\left(x,\epsilon\right)\cap A\setminus\left\{ x\right\} \ne\emptyset\)となるので、\(x\)は\(A\)の集積点となる。
故に\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。(2)
(1)で\(A\setminus\left\{ x\right\} \)を\(A\)に置き換えればいい。ページ情報
| タイトル | 距離空間での集積点と閉包の点列による別定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/fzc1tcvc/ |
| SNSボタン |
距離空間での開集合全体の集合
\[
\forall\mathcal{P}\subseteq\mathcal{O},\bigcup_{P\in\mathcal{P}}P\in\mathcal{O}
\]
距離空間の定義
\[
d\left(x,y\right)\leq d\left(x,z\right)+d\left(z,y\right)
\]
距離空間での開集合と閉集合の定義
\[
\forall x\in A,\exists\epsilon>0,U_{\epsilon}\left(x\right)\subseteq A
\]
距離空間の有界・直径と全有界の定義
\[
\diam\left(A\right):=\sup\left\{ d\left(a,b\right);a,b\in A\right\}
\]