分母にxの20乗がある定積分

by nomura · 2024年6月17日

分母にxの20乗がある定積分
次の定積分を求めよ

\int_{2}^{\infty} \frac{x^{9}}{x^{20} - 48 x^{10} + 575} d x = ?

\begin{aligned} \int_{2}^{\infty} \frac{x^{9}}{x^{20} - 48 x^{10} + 575} d x & = \frac{1}{10} \int_{2^{10}}^{\infty} \frac{1}{x^{20} - 8 x^{10} + 15} d x^{10} \\ = \frac{1}{10} \int_{2^{10}}^{\infty} \frac{1}{{(x^{10})}^{2} - 8 x^{10} + 15} d x^{10} \\ = \frac{1}{10} \int_{2^{10}}^{\infty} \frac{1}{{(x^{10} - 4)}^{2} - 1} d x^{10} \\ = \frac{1}{10} \int_{2^{10}}^{\infty} \frac{1}{((x^{10} - 4) - 1) ((x^{10} - 4) + 1)} d x^{10} \\ = \frac{1}{10} \int_{2^{10}}^{\infty} \frac{1}{(x^{10} - 5) (x^{10} - 3)} d x^{10} \\ = \frac{1}{20} \int_{2^{10}}^{\infty} \frac{1}{(x^{10} - 5)} - \frac{1}{(x^{10} - 3)} d x^{10} \\ = \frac{1}{20} {[\log (x^{10} - 5) - \log (x^{10} - 3)]}_{x^{10} \to 2^{10}}^{\infty} \\ = \frac{1}{20} {[\log \frac{x^{10} - 5}{x^{10} - 3}]}_{x^{10} \to 2^{10}}^{\infty} \\ = - \frac{1}{20} \log \frac{2^{10} - 5}{2^{10} - 3} \\ = - \frac{1}{20} \log \frac{1019}{1021} \\ = \frac{1}{20} \log \frac{1021}{1019} \end{aligned}

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タイトル	分母にxの20乗がある定積分
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\int_{0}^{\infty} \frac{1}{(1 + x) (a^{2} + \log^{2} x)} d x = ?

\int_{0}^{\infty} \log (\frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}) d x = ?

\int \sqrt{\tan x} d x = \frac{\sqrt{2}}{4} \log (\tan x - \sqrt{2 \tan x} + 1) - \frac{\sqrt{2}}{4} \log (\tan x + \sqrt{2 \tan x} + 1) + \frac{\sqrt{2}}{2} \tan^{∙} (\sqrt{2 \tan x} - 1) + \frac{\sqrt{2}}{2} \tan^{∙} (\sqrt{2 \tan x} + 1) + C

\int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{1}{3}}} d x = 2 x^{\frac{1}{2}} - 3 x^{\frac{1}{3}} + 6 x^{\frac{1}{6}} - 6 \log (1 + x^{\frac{1}{6}})