順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値
順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値
順序を保ち(順序写像)かつ順序を反映する写像(順序単射)であることと、順序埋め込み写像は同値である。
順序を保ち(順序写像)かつ順序を反映する写像(順序単射)であることと、順序埋め込み写像は同値である。
\(\left(X,\preceq_{X}\right),\left(Y,\preceq_{Y}\right)\)を順序集合として、\(f:X\rightarrow Y\)を写像とする。
\[ \left\{ a\preceq b\rightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\right\} \land\left\{ f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\rightarrow a\preceq b\right\} \Leftrightarrow a\preceq b\leftrightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right) \] となるので、題意は成り立つ。
\[ \left\{ a\preceq b\rightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\right\} \land\left\{ f\left(a\right)\preceq f\left(b\right)\rightarrow a\preceq b\right\} \Leftrightarrow a\preceq b\leftrightarrow f\left(a\right)\preceq f\left(b\right) \] となるので、題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 順序写像かつ順序単射であることと順序埋め込み写像は同値 |
| URL | https://www.nomuramath.com/g19fqqb4/ |
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順序集合の双対順序集合と狭義順序集合の狭義逆順序
\[
\succeq:=\left\{ \left(a,b\right)\in X^{2};b\preceq a\right\}
\]
上方集合と下方集合の定義
\[
\forall x\in A,\forall y\in X,x\preceq y\rightarrow y\in A
\]
テューキーの補題
有限性をもつ空でない集合族$\mathcal{A}$に対し、包含関係を順序とする半順序集合$\left(\mathcal{A},\subseteq\right)$に極大元が存在する。
切片の定義
\[
X\left\langle a\right\rangle =\left\{ x\in X;x\prec a\right\}
\]