コーシーの関数方程式と関数方程式の基本
コーシーの関数方程式と関数方程式の基本
\(f\left(x\right)\text{が}\)ある一点で連続であるとき以下が成り立つ。
\(f\left(x\right)\text{が}\)ある一点で連続であるとき以下が成り立つ。
(1)コーシーの関数方程式
\[ f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\rightarrow f\left(x\right)=ax \](2)
\[ f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)\rightarrow f\left(x\right)=a^{x} \](3)
\[ f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right)\rightarrow f\left(x\right)=a\log x \](4)
\[ f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right)\rightarrow f\left(x\right)=x^{a} \](1)
\(f\left(x\right)=ax\)のとき\(f\left(1\right)=a\)となるので\(f\left(x\right)=f\left(1\right)x\)となる。(2)
\(f\left(x\right)=a^{x}\)のとき\(f\left(1\right)=a\)となるので\(f\left(x\right)=f^{x}\left(1\right)\)となる。(3)
\(f\left(x\right)=a\log x\)のとき\(f\left(e\right)=a\)となるので\(f\left(x\right)=f\left(e\right)\log x\)となる。(4)
\(f\left(x\right)=x^{a}\)のとき\(f\left(x\right)\)が実関数であれば\(a\)も実数となり\(\log f\left(e\right)=a\)となるので\(f\left(x\right)=x^{\log f\left(e\right)}\)となる。(1)
\[ f\left(x+y\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right) \] \(x=y=0\)を代入すると\(f\left(0\right)=f\left(0\right)+f\left(0\right)\)より\(f\left(0\right)=0\)。点\(a\)で連続とすると、
\begin{align*} \lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left(x+h\right)-f\left(x\right)\right\} & =\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left(\left(x-a\right)+\left(a+h\right)\right)-f\left(\left(x-a\right)+a\right)\right\} \\ & =\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left(x-a\right)+f\left(a+h\right)-f\left(x-a\right)+f\left(a\right)\right\} \\ & =\lim_{h\rightarrow0}\left\{ f\left(a+h\right)-f\left(a\right)\right\} \\ & =0 \end{align*} より\(f\left(x\right)\)はすべての点で連続となる。
\(y=-x\)を代入すると\(f\left(x\right)=-f\left(-x\right)\)より奇関数となり、
\begin{align*} \lim_{h\rightarrow+0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} & =-\lim_{h\rightarrow-0}\frac{f\left(x-h\right)-f\left(x\right)}{h}\cmt{h\rightarrow-h}\\ & =\lim_{h\rightarrow-0}\frac{-f\left(x\right)-f\left(-h\right)+f\left(x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow-0}\frac{f\left(x\right)+f\left(h\right)-f\left(x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow-0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h} \end{align*} より\(f\left(x\right)\)は微分可能となる。
\begin{align*} f'\left(x\right) & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(x\right)+f\left(h\right)-f\left(x\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(h\right)}{h}\\ & =\lim_{h\rightarrow0}\frac{f\left(0+h\right)-f\left(0\right)}{h}\\ & =f'\left(0\right) \end{align*} \(f'\left(0\right)=a\)とおくと\(f'\left(x\right)=a\)より\(f\left(x\right)=ax+c\)
\(f\left(0\right)=0\)より\(c=0\)
これより\(f\left(x\right)=ax\)
(2)
\[ f\left(x+y\right)=f\left(x\right)f\left(y\right) \] \(f\left(x\right)=e^{g\left(x\right)}\)とおくと\begin{align*} e^{g\left(x+y\right)} & =e^{g\left(x\right)}e^{g\left(y\right)}\\ & =e^{g\left(x\right)+g\left(y\right)} \end{align*} これより、
\[ g\left(x+y\right)=g\left(x\right)+g\left(y\right) \] これはコーシーの関数方程式なので
\[ g\left(x\right)=bx \] となり、
\[ f\left(x\right)=e^{bx}=a^{x} \]
(3)
\[ f\left(xy\right)=f\left(x\right)+f\left(y\right) \] \(f\left(x\right)=g\left(\log x\right)\)とおくと\[ g\left(\log x+\log y\right)=g\left(\log x\right)+g\left(\log y\right) \] コーシーの関数方程式より
\[ g\left(\log x\right)=a\log x \] となり、
\[ f\left(x\right)=a\log x \]
(4)
\[ f\left(xy\right)=f\left(x\right)f\left(y\right) \] \(f\left(x\right)=e^{g\left(\log x\right)}\)とおくと、\begin{align*} e^{g\left(\log x+\log y\right)} & =e^{g\left(\log x\right)}e^{g\left(\log y\right)}\\ & =e^{g\left(\log x\right)+g\left(\log y\right)} \end{align*} これより、
\[ g\left(\log x+\log y\right)=g\left(\log x\right)+g\left(\log y\right) \] コーシーの関数方程式より、
\[ g\left(\log x\right)=a\log x \] となり、
\begin{align*} f\left(x\right) & =e^{a\log x}\\ & =x^{a} \end{align*}
ページ情報
タイトル | コーシーの関数方程式と関数方程式の基本 |
URL | https://www.nomuramath.com/g769io2l/ |
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(*)log(1-x)のn乗の展開
\[
\log^{n}(1-x)=(-1)^{n}n!\sum_{k=0}^{\infty}\frac{S_{1}(k+n,n)}{(k+n)!}x^{k+n}
\]
ファウルハーバー公式(冪乗和公式)
\[
\sum_{j=1}^{n}j^{m}=\frac{1}{m+1}\left(B_{m+1}(n+1)-B_{m+1}(1)\right)
\]
積分問題
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{n}}dx
\]
関数の極限
\[
\forall\epsilon>0,\exists\delta>0;\forall x\in\mathbb{R},0<\left|x-a\right|<\delta\Rightarrow\left|f\left(x\right)-b\right||<\epsilon
\]