チェザロ総和とチェザロ平均の定義
チェザロ総和とチェザロ平均の定義
\[ s_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k} \] の極限
\[ C=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}s_{j} \] が有限となるとき、\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)はチェザロ総和可能であるという。
また、この極限\(C\)を\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)のチェザロ総和またはチェザロ和という。
\[ m_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{n} \] をチェザロ平均という。
(1)チェザロ総和(チェザロ和)
数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の最初の\(n\)項の部分和\[ s_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k} \] の極限
\[ C=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}s_{j} \] が有限となるとき、\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)はチェザロ総和可能であるという。
また、この極限\(C\)を\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)のチェザロ総和またはチェザロ和という。
(2)チェザロ平均
数列\(\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の最初の\(n\)項の相加平均\[ m_{n}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{n} \] をチェザロ平均という。
チェザロ総和は、
\begin{align*} C & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}s_{j}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{j}a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=k}^{n}a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(n-k+1\right)a_{k} \end{align*} となる。
\begin{align*} C & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}s_{j}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\sum_{k=1}^{j}a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\sum_{j=k}^{n}a_{k}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(n-k+1\right)a_{k} \end{align*} となる。
\(a_{n}=\left(-1\right)^{n+1}\)とする。
このとき、和
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1} \] は収束しないがチェザロ総和は存在する。
チェザロ総和を求めるのに部分和を求めると、
\begin{align*} s_{n} & =\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{n+1}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2} \end{align*} となり、チェザロ総和は
\begin{align*} C & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}s_{j}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{j+1}}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\left(-1\right)^{j+1}}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\left(-\frac{1}{4}+\frac{\left(-1\right)^{n}}{4}\right)\\ & =\frac{1}{2} \end{align*} より、\(\frac{1}{2}\)となる。
この級数のチェザロ平均は、
\begin{align*} m_{n} & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{n}\\ & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{n+1}\\ & =\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2n}\left(1+\left(-1\right)^{n+1}\right)\\ & =\frac{\mod\left(n,2\right)}{n} \end{align*} となる。
このとき、和
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1} \] は収束しないがチェザロ総和は存在する。
チェザロ総和を求めるのに部分和を求めると、
\begin{align*} s_{n} & =\sum_{k=1}^{n}a_{k}\\ & =\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{n+1}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2} \end{align*} となり、チェザロ総和は
\begin{align*} C & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}s_{j}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{j+1}}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{j=1}^{n}\left(\frac{\left(-1\right)^{j+1}}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}+\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\left(-\frac{1}{4}+\frac{\left(-1\right)^{n}}{4}\right)\\ & =\frac{1}{2} \end{align*} より、\(\frac{1}{2}\)となる。
この級数のチェザロ平均は、
\begin{align*} m_{n} & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{n}\\ & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{n+1}\\ & =\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2n}\left(1+\left(-1\right)^{n+1}\right)\\ & =\frac{\mod\left(n,2\right)}{n} \end{align*} となる。
ページ情報
| タイトル | チェザロ総和とチェザロ平均の定義 |
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項別積分と項別微分
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_{k}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}\left(x\right)dx
\]
上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の定数倍
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(ca_{n}\right)=\begin{cases}
c\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c>0\\
c\inf_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}\right) & c<0\\
0 & c=0
\end{cases}
\]
チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}
\]
実数での上界・下界・有界・最大値・最小値の定義
\[
\left(\exists x\in A,\forall a\in A,a\leq x\right)\Leftrightarrow\max A=x
\]