無限補有限位相では空集合でない開集合は互いに交わる
無限補有限位相では空集合でない開集合は互いに交わる
無限集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は、任意の開集合\(O_{1},O_{2}\in\mathcal{O}_{c}\)に対し\(O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset\rightarrow O_{1}\cap O_{2}\ne\emptyset\)を満たす。
無限集合\(X\)の補有限位相\(\left(X,\mathcal{O}_{c}\right)\)は、任意の開集合\(O_{1},O_{2}\in\mathcal{O}_{c}\)に対し\(O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset\rightarrow O_{1}\cap O_{2}\ne\emptyset\)を満たす。
有限集合の補有限位相では空集合でない開集合は互いに素になることもあります。
例えば有限集合の補有限位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,2^{\left\{ a,b\right\} }\right)\)は離散位相であり、\(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \)は共に開集合であるが\(\left\{ a\right\} \cap\left\{ b\right\} =\emptyset\)となるので互いに素である。
例えば有限集合の補有限位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,2^{\left\{ a,b\right\} }\right)\)は離散位相であり、\(\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} \)は共に開集合であるが\(\left\{ a\right\} \cap\left\{ b\right\} =\emptyset\)となるので互いに素である。
\(O_{1}\cap O_{2}\ne\emptyset\Leftrightarrow O_{1}^{c}\cup O_{2}^{c}\ne X\)となるが左辺については閉集合は有限集合なので\(\left|O_{1}^{c}\cup O_{2}^{c}\right|\leq\left|O_{1}^{c}\right|+\left|O_{2}^{c}\right|<\infty\)となり、右辺は\(\left|X\right|=\infty\)となるので\(O_{1}^{c}\cup O_{2}^{c}\ne X\)を満たす。
従って、\(\top\Leftrightarrow O_{1}^{c}\cup O_{2}^{c}\ne X\Leftrightarrow O_{1}\cap O_{2}\ne\emptyset\)となる。
故に題意は成り立つ。
従って、\(\top\Leftrightarrow O_{1}^{c}\cup O_{2}^{c}\ne X\Leftrightarrow O_{1}\cap O_{2}\ne\emptyset\)となる。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 無限補有限位相では空集合でない開集合は互いに交わる |
| URL | https://www.nomuramath.com/gc2xvrrx/ |
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補有限位相の定義
\[
\mathcal{O}_{c}=\left\{ A\subseteq X;\left|A^{c}\right|<\infty\right\} \land\left\{ \emptyset\right\}
\]