因数分解による3次方程式の標準形の解

\begin{align*} X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZ & =\left(X+Y+Z\right)\left(X^{2}+Y^{2}+Z^{2}-XY-YZ-ZX\right)\\ & =\left(X+Y+Z\right)\left(X^{2}-\left(Y+Z\right)X+Y^{2}+Z^{2}-YZ\right)\\ & =\left(X+Y+Z\right)\left(X-\frac{Y+Z+\sqrt{\left(Y+Z\right)^{2}-4\left(Y^{2}+Z^{2}-YZ\right)}}{2}\right)\left(X-\frac{Y+Z-\sqrt{\left(Y+Z\right)^{2}-4\left(Y^{2}+Z^{2}-YZ\right)}}{2}\right)\\ & =\left(X+Y+Z\right)\left(X-\frac{Y+Z+\sqrt{-3\left(Y-Z\right)^{2}}}{2}\right)\left(X-\frac{Y+Z-\sqrt{-3\left(Y-Z\right)^{2}}}{2}\right)\\ & =\left(X+Y+Z\right)\left(X-\frac{Y+Z}{2}+\frac{\sqrt{3}i\left(Y-Z\right)}{2}\right)\left(X-\frac{Y+Z}{2}-\frac{\sqrt{3}i\left(Y-Z\right)}{2}\right)\cmt{\text{第2項と第3項を同時に変形しないとダメ}}\\ & =\left(X+Y+Z\right)\left(X-\frac{1+\sqrt{3}i}{2}Y-\frac{1-\sqrt{3}i}{2}Z\right)\left(X-\frac{\left(1-\sqrt{3}i\right)}{2}Y-\frac{\left(1+\sqrt{3}i\right)}{2}Z\right)\\ & =\left(X+Y+Z\right)\left(X+\omega^{2}Y+\omega Z\right)\left(X+\omega Y+\omega^{2}Z\right) \end{align*} より、
\begin{align*} X^{3}-3YZX+Y^{3}+Z^{3} & =X^{3}+Y^{3}+Z^{3}-3XYZ\\ & =\left(X+Y+Z\right)\left(X+\omega^{2}Y+\omega Z\right)\left(X+\omega Y+\omega^{2}Z\right) \end{align*} と3次方程式の標準型
\[ x^{3}+px+q=0 \] を比べると、
\[ \begin{cases} p=-3YZ\\ q=Y^{3}+Z^{3} \end{cases} \] となっている。このとき、解は、
\[ X=-Y-Z\;,\;-\omega^{2}Y-\omega Z\;,\;-\omega Y-\omega^{2}Z \] 1つにまとめると、
\[ X_{k}=-\omega^{k}Y-\omega^{3-k}Z\;\cnd{k\in\left\{ 0,1,2\right\} } \] となる。
\[ \begin{cases} Y^{3}Z^{3}=-\left(\frac{p}{3}\right)^{3}\\ Y^{3}+Z^{3}=q \end{cases} \] より、\(Y^{3}\)と\(Z^{3}\)は\(t^{2}-qt-\left(\frac{p}{3}\right)^{3}=0\)の2解になる。
これを解くと、
\begin{align*} Y^{3},Z^{3} & =\frac{q\pm\sqrt{q^{2}+4\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}{2}\\ & =\frac{q}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}} \end{align*} となるので、
\[ Y=-\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}} \] と選ぶと、
\begin{align*} Z & =-\frac{p}{3Y}\\ & =\frac{p}{3}\sqrt[-3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}\\ & =\frac{p}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}} \end{align*} これより3解は
\begin{align*} X_{k} & =-\omega^{k}Y-\omega^{3-k}Z\\ & =\omega^{k}\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}-\omega^{3-k}\frac{p}{3}\frac{1}{\sqrt[3]{-\frac{q}{2}-\sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^{2}+\left(\frac{p}{3}\right)^{3}}}}\cnd{k\in\left\{ 0,1,2\right\} } \end{align*} となる。