(1)

閉区間\(\left[0,1\right]\)の線分を\(3\)等分して真ん中の区間を開区間として取り除くという操作を\(n\)回繰り返したときの残りの線分を\(C_{n}\)として、\(C_{n-1}\)回目から\(C_{n}\)回目に取り除けばいい線分を\(D_{n}\)とする。
\(D_{n}\)は既に取り除かれている成分については除外しなくてもいいので、実際に取り除く線分より多くてもいい。
\(D_{n}\)は、
\begin{align*} D_{n} & =\bigcup_{0<3k+1<3^{n}}\frac{1}{3^{n}}\left(3k+1,3k+2\right)\\ & =\bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-\frac{1}{3}}\frac{1}{3^{n}}\left(3k+1,3k+2\right)\\ & =\bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-1}\left(\frac{3k+1}{3^{n}},\frac{3k+2}{3^{n}}\right) \end{align*} となるので、\(C_{n}\)は、
\begin{align*} C_{n} & =C_{n-1}\setminus D_{n}\\ & =C_{n-1}\cap D_{n}^{c}\\ & =C_{n-2}\cap D_{n-1}^{c}\cap D_{n}^{c}\\ & =C_{0}\cap\bigcap_{j=1}^{n}D_{j}^{c}\\ & =C_{0}\cap\left(\bigcup_{j=1}^{n}D_{j}\right)^{c}\\ & =C_{0}\setminus\bigcup_{j=1}^{n}D_{j}\\ & =\left[0,1\right]\setminus\bigcup_{j=1}^{n}\bigcup_{k=0}^{3^{j-1}-1}\left(\frac{3k+1}{3^{j}},\frac{3k+2}{3^{j}}\right) \end{align*} となる。
これより
\[ C=C_{\infty}=\left[0,1\right]\setminus\bigcup_{j=1}^{\infty}\bigcup_{k=0}^{3^{j-1}-1}\left(\frac{3k+1}{3^{j}},\frac{3k+2}{3^{j}}\right) \] となる。

(2)

カントール集合\(C\)は区間を3等分して、真ん中を取り除いていく操作を繰り返すので、\(n\)回目では\(\frac{1}{3^{n}}\)等分して、\(k\in\left\{ 0,1,2,\cdots,3^{n-1}-1\right\} \)として、\(3k+2\)番目を取り除けばいいので、
\[ J_{n}=\bigcup_{k=0}^{3^{n-1}-1}\left(\frac{3k+1}{3^{n}},\frac{3k+2}{3^{n}}\right) \] \[ J=\bigcup_{n=1}^{\infty}J_{n} \] \[ C=\left[0,1\right]\setminus J \] と表され、\(J_{n}\)は開集合の有限個の和集合なので開集合であり、\(J\)は開集合の任意個の和集合なので開集合となる。
また、\(J\)の補集合\(J^{c}\)は開集合の補集合なので閉集合となり、カントール集合は閉集合\(\left[0,1\right]\)と閉集合\(J^{c}\)の積集合となるので閉集合となる。
従って題意は成り立つ。

(3)

3進数で表したときに、各桁が0または2のみで表す表示があることと、カントール集合の元になることは同値である。
これより、\(\left[0,1\right]\)の任意の元について、2進数表示をして、各桁について\(0\rightarrow0,1\rightarrow2\)とすれば、各桁が0または2となるのでカントール集合の元となる。
この2進数表示をするときには、\(0.0111\cdots_{2}\)のように無限に1が続くものは\(0.1_{2}\)と考えるとする。
従って、\(\left[0,1\right]\)からカントール集合\(C\)への単射が存在するので\(\left|\left[0,1\right]\right|\leq\left|C\right|\)となる。
また、\(C\subseteq\left[0,1\right]\)なので\(\left|C\right|\leq\left|\left[0,1\right]\right|\)である。
これより、\(\left|\left[0,1\right]\right|\leq\left|C\right|\leq\left|\left[0,1\right]\right|\)となり、\(\left|C\right|=\left|\left[0,1\right]\right|=\aleph\)となる。
従って題意は成り立つ。

補足

カントール集合から\(\left[0,1\right]\)への写像を3進数表示をして、各桁について\(0\rightarrow0,2\rightarrow1\)としても単射にはなりません。
例えば\(0.2_{3}\ne0.1_{3}=0.0222\cdots_{3}\)であるが、\(0.2_{3}\mapsto0.1_{2}\)であり、\(0.0222\cdots_{3}\mapsto0.0111\cdots_{2}=0,1_{2}\)となるので単射とはならないからである。

(4)

カントール集合は残っている集合を\(\frac{1}{3}\)ずつ取り除いていくので
\begin{align*} \mu\left(C\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}\\ & =0 \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。