複素指数関数の極形式
複素指数関数の極形式
\[ \alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)} \]
\[ \alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)} \]
\begin{align*}
\alpha^{\beta} & =e^{\beta\log\alpha}\\
& =e^{\left(\Re\left(\beta\right)+i\Im\left(\beta\right)\right)\left(\ln\left|\alpha\right|+i\arg\alpha\right)}\\
& =e^{\left(\Re\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha\right)+i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}\\
& =\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 複素指数関数の極形式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/glqo848l/ |
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複素数の冪関数の定義
\[
\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}
\]
積が非負実数のべき乗
\[
\left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
複素数の実部と虚部
\[
\Re\left(-z\right)=-\Re\left(z\right)
\]
偏角・対数の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\
\Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]