すべての自然数の積(解析接続あり)
すべての自然数の積(解析接続あり)
\[ \prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi} \]
\[ \prod_{k=1}^{\infty}k=\sqrt{2\pi} \]
\begin{align*}
\prod_{k=1}^{\infty}k & =\prod_{k=1}^{\infty}e^{\Log k}\\
& =\exp\left(\sum_{k=1}^{\infty}\Log k\right)\\
& =\exp\left(-\left[\sum_{k=1}^{\infty}-k^{-s}\Log k\right]_{s=0}\right)\\
& =\exp\left(-\left[\frac{d}{ds}\sum_{k=1}^{\infty}k^{-s}\right]_{s=0}\right)\\
& =\exp\left(-\left[\frac{d}{ds}\zeta\left(s\right)\right]_{s=0}\right)\\
& =\exp\left(-\zeta'\left(0\right)\right)\\
& =\exp\left(\Log\sqrt{2\pi}\right)\\
& =\sqrt{2\pi}
\end{align*}
ページ情報
タイトル | すべての自然数の積(解析接続あり) |
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リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値
\[
\zeta\left(-n,\alpha\right)=-\frac{1}{n+1}B_{n+1}\left(\alpha\right)
\]
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
\[
\zeta\left(s,1\right)=\zeta\left(s\right)
\]
リーマン・ゼータ関数を含む総和
\[
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\zeta\left(k\right)-1}{k}=1-\gamma
\]
ゼータ関数の絶対収束条件
ゼータ関数$\zeta\left(s\right)$は$\Re\left(s\right)>1$で絶対収束