第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係
(1)
\[ nU_{n-1}(x)=T_{n}'(x) \](2)
\[ U_{n-1}'(x)=\frac{1}{1-x^{2}}\left\{ xU_{n-1}(x)-nT_{n}(x)\right\} \](1)
\begin{align*} T_{n}'(x) & =\frac{d}{dx}\cos(n\cos^{\bullet}x)\\ & =-\sin\left(n\cos^{\bullet}x\right)\frac{-n}{\sqrt{1-x^{2}}}\\ & =n\frac{\sin\left(n\cos^{\bullet}x\right)}{\sin\left(\cos^{\bullet}x\right)}\\ & =nU_{n-1}(x) \end{align*}(2)
\begin{align*} U_{n-1}'(x) & =\frac{d}{dx}\frac{\sin(n\cos^{\bullet}x)}{\sin\cos^{\bullet}x}\\ & =\frac{-n\cos(n\cos^{\bullet}x)\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\sin\cos^{\bullet}x+\sin(n\cos^{\bullet}x)\cos\cos^{\bullet}x\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}}{\sin^{2}\cos^{\bullet}x}\\ & =\frac{-n\cos(n\cos^{\bullet}x)+\sin(n\cos^{\bullet}x)\frac{x}{\sin\cos^{\bullet}x}}{1-x^{2}}\\ & =\frac{1}{1-x^{2}}\left\{ xU_{n-1}(x)-nT_{n}(x)\right\} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 第1種チェビシェフ多項式と第2種チェビシェフ多項式の関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/h2c9hwaz/ |
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第1種・第2種と第3種チェビシェフ多項式同士の関係
\[
V(-x)=(-1)^{n}W_{n}(x)
\]
第2種チェビシェフ多項式の因数分解
\[
U_{2n-1}(x)=2U_{n-1}(x)T_{n}(x)
\]
チェビシェフ多項式の積表示
\[
T_{n}(x)=2^{n}\prod_{k=1}^{n}\left(x-\cos\left(\frac{2k-1}{2n}\pi\right)\right)
\]
チェビシェフ多項式の漸化式
\[
T_{n+1}(x)=2xT_{n}(x)-T_{n-1}(x)
\]