上限位相・下限位相は通常位相より強い

上限位相

通常位相\(\mathcal{O}\)の開基は開区間の全体である。
これより、\(\mathcal{O}\)の開基\(\mathcal{B}\)が\(\mathcal{O}_{u}\)の開基\(\mathcal{B}_{u}\)の和集合で表せれば\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{u}\)となる。
任意の\(a,b\in\mathbb{R},a<b\)に対し、\(\left(a,b-\frac{1}{n}\right]\)を\(n\in\mathbb{N},a<b-\frac{1}{n}\)を満たす\(n\)について和集合をとると、
\[ \left(a,b\right)=\bigcup_{n>\frac{1}{b-a}}\left(a,b-\frac{1}{n}\right] \] となるので、\(\mathcal{B}\subseteq\mathcal{B}_{u}\)となるので\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{u}\)となる。

下限位相

上限位相と同様にすれば\(\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{l}\)となる。