偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
複素数\(\alpha\in\mathbb{C}\)として、偶関数\(f_{e}\left(x\right)=f_{e}\left(-x\right)\)に対し次の定積分
\[ \int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
複素数\(\alpha\in\mathbb{C}\)として、偶関数\(f_{e}\left(x\right)=f_{e}\left(-x\right)\)に対し次の定積分
\[ \int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
\begin{align*}
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\left(x\right)dx\\
& =\left[\sin\left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
& =1
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx & =\frac{1}{2}\left(\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx+\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(-x\right)}{1+\alpha^{-x}}dx\right)\\
& =\frac{1}{2}\left(\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx+\int_{-c}^{c}\frac{\alpha^{x}f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx\right)\\
& =\frac{1}{2}\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)\left(1+\alpha^{x}\right)}{1+\alpha^{x}}dx\\
& =\frac{1}{2}\int_{-c}^{c}f_{e}\left(x\right)dx\\
& =\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/h6ea3742/ |
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部分積分と繰り返し部分積分
\[
\int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx
\]
逆関数の微分
\[
\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}
\]
べき乗を含む0から∞までの定積分
\[
\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi,0<b\Rightarrow\int_{0}^{\infty}f\left(x,\alpha x^{b}\right)dx=\frac{1}{\alpha^{\frac{1}{b}}b}\lim_{R\rightarrow\infty}\int_{0}^{Re^{i\Arg\left(\alpha\right)}}f\left(\frac{t^{\frac{1}{b}}}{\alpha^{\frac{1}{b}}},t\right)t^{\frac{1}{b}-1}dt
\]
対数を含む積分
\[
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\]