偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
複素数\(\alpha\in\mathbb{C}\)として、偶関数\(f_{e}\left(x\right)=f_{e}\left(-x\right)\)に対し次の定積分
\[ \int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
複素数\(\alpha\in\mathbb{C}\)として、偶関数\(f_{e}\left(x\right)=f_{e}\left(-x\right)\)に対し次の定積分
\[ \int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx \] が成り立つ。
\begin{align*}
\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos\left(x\right)dx\\
& =\left[\sin\left(x\right)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}\\
& =1
\end{align*}
\begin{align*}
\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx & =\frac{1}{2}\left(\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx+\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(c+\left(-c\right)-x\right)}{1+\alpha^{\left(c+\left(-c\right)-x\right)}}dx\right)\cmt{\text{キングプロパティーまたは}x\rightarrow-x\text{とする}}\\
& =\frac{1}{2}\left(\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx+\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(-x\right)}{1+\alpha^{-x}}dx\right)\\
& =\frac{1}{2}\left(\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx+\int_{-c}^{c}\frac{\alpha^{x}f_{e}\left(x\right)}{1+\alpha^{x}}dx\right)\\
& =\frac{1}{2}\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)\left(1+\alpha^{x}\right)}{1+\alpha^{x}}dx\\
& =\frac{1}{2}\int_{-c}^{c}f_{e}\left(x\right)dx\\
& =\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/h6ea3742/ |
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反復積分に関するコーシーの公式
\[
\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{n-1}}f\left(y_{n}\right)dy_{n}\cdots dy_{1}=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f\left(t\right)dt
\]
冪関数と指数関数の積の積分
\[
\int z^{\alpha}e^{\beta z}dz=\frac{z^{\alpha}}{\beta\left(-\beta z\right)^{\alpha}}\Gamma\left(\alpha+1,-\beta z\right)+C
\]
3角関数の関数の定積分
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx
\]
合成関数の微分
\[
\frac{df(g(x))}{dx}=f'(g(x))g'(x)
\]