和の階乗冪(下降階乗・上昇階乗)
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
(1)
\[ P(x+y,n)=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k) \](2)
\[ Q(x+y,n)=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)Q(x,k)Q(y,n-k) \](1)
\(n=0\)のとき
\begin{align*} lhs & =P(x+y,0)\\ & =1 \end{align*} \begin{align*} rhs & =\sum_{k=0}^{0}C(0,k)P(x,k)P(y,0-k)\\ & =C(0,0)P(x,0)P(y,0)\\ & =1 \end{align*} となるので\(n=0\)で成立する。\(n=k\)のとき成立すると仮定する
\begin{align*} P(x+y,n+1) & =P(x+y)(x+y-n)\\ & =\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k)(x+y-n)\\ & =\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)(x-k)P(y,n-k)+\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k)(y-(n-k))\\ & =\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k+1)P(y,n-k)+\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n-k+1)\\ & =\sum_{k=1}^{n+1}C(n,k-1)P(x,k)P(y,n+1-k)+\sum_{k=0}^{n}C(n,k)P(x,k)P(y,n+1-k)\\ & =\sum_{k=0}^{n+1}C(n,k-1)P(x,k)P(y,n+1-k)+\sum_{k=0}^{n+1}C(n,k)P(x,k)P(y,n+1-k)\\ & =\sum_{k=0}^{n+1}\left\{ C(n,k-1)+C(n,k)\right\} P(x,k)P(y,n+1-k)\\ & =\sum_{k=0}^{n+1}\left\{ C(n+1,k)\right\} P(x,k)P(y,n+1-k) \end{align*} となり、\(n=k+1\)のときも成立。*
これより数学的帰納法により与式は成り立つ。(2)
(1)と同じようにすればいい。ページ情報
| タイトル | 和の階乗冪(下降階乗・上昇階乗) |
| URL | https://www.nomuramath.com/haetupvo/ |
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階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係
\[
\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right)
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の差分
\[
P(x,y)=\frac{1}{y+1}\left(P(x+1,y+1)-P(x,y+1)\right)
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の１項間漸化式
\[
P(x+1,y)=\frac{x+1}{x-y+1}P(x,y)
\]
階乗冪(下降階乗・上昇階乗)の和分
\[
\sum_{k=1}^{m}P(k,n)=\frac{1}{n+1}P(m+1,n+1)
\]