ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
有界実数列は収束する部分列を持つ。
有界実数列は収束する部分列を持つ。
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理は通常距離では成り立ちますが、一般的に通常距離以外の距離関数では成り立ちません。
例えば、離散距離空間\(\left(\mathbb{R},d_{\delta}\right)\)で点列\(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界実数列ですが、収束する部分列をもちません。
別の例では、離散距離空間\(\left(\mathbb{R},d_{\delta}\right)\)で点列\(\left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界実数列ですが、収束する部分列をもちません。
例えば、離散距離空間\(\left(\mathbb{R},d_{\delta}\right)\)で点列\(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界実数列ですが、収束する部分列をもちません。
別の例では、離散距離空間\(\left(\mathbb{R},d_{\delta}\right)\)で点列\(\left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界実数列ですが、収束する部分列をもちません。
有界実数列を\(a_{n}\)とすると、有界なので\(a_{n}\in I_{0}=\left[b_{0},c_{0}\right]\)と表される。
区間\(I_{k}=\left[b_{k},c_{k}\right]\)に無限個の項があるとき、区間を半分に分割するとどちらかには無限個の項が存在するのでそれを\(I_{k+1}\)とする。
区間縮小法により、\(I_{k}\)はある実数\(a\)に収束する。
\(I_{k}\)には無限個の項があるので、任意の自然数\(n\)に対し、\(m>n\)を満たす\(a_{m}\in I_{k}\)が存在する。
これより、\(n\left(k\right)<n\left(k+1\right)\)を満たすように\(a_{n(k)}\in I_{k}\)を選ぶことができる。
そうすると、\(b_{k}\leq a_{n(k)}\leq c_{k}\)となるので挟み撃ちの原理より\(a_{n(k)}\)は\(a\)に収束する。
故に題意は成り立つ。
区間\(I_{k}=\left[b_{k},c_{k}\right]\)に無限個の項があるとき、区間を半分に分割するとどちらかには無限個の項が存在するのでそれを\(I_{k+1}\)とする。
区間縮小法により、\(I_{k}\)はある実数\(a\)に収束する。
\(I_{k}\)には無限個の項があるので、任意の自然数\(n\)に対し、\(m>n\)を満たす\(a_{m}\in I_{k}\)が存在する。
これより、\(n\left(k\right)<n\left(k+1\right)\)を満たすように\(a_{n(k)}\in I_{k}\)を選ぶことができる。
そうすると、\(b_{k}\leq a_{n(k)}\leq c_{k}\)となるので挟み撃ちの原理より\(a_{n(k)}\)は\(a\)に収束する。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hbbbwwr8/ |
| SNSボタン |
収束列ならばコーシー列
収束列ならばコーシー列となるが逆は一般に成り立たない。
絶対収束する級数は収束する
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{n}\right|<\infty\Rightarrow\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{n}\text{は収束する}
\]
極限と上極限・下極限との関係
\[
\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right)
\]
収束する数列の部分列は同じ値に収束する
無限数列$\left(a_{n}\right)$が収束するとき、その部分列$\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)$も同じ値に収束する。