ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理
有界実数列は収束する部分列を持つ。
有界実数列は収束する部分列を持つ。
ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理は通常距離では成り立ちますが、一般的に通常距離以外の距離関数では成り立ちません。
例えば、離散距離空間\(\left(\mathbb{R},d_{\delta}\right)\)で点列\(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界実数列ですが、収束する部分列をもちません。
別の例では、離散距離空間\(\left(\mathbb{R},d_{\delta}\right)\)で点列\(\left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界実数列ですが、収束する部分列をもちません。
例えば、離散距離空間\(\left(\mathbb{R},d_{\delta}\right)\)で点列\(\left(\frac{1}{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界実数列ですが、収束する部分列をもちません。
別の例では、離散距離空間\(\left(\mathbb{R},d_{\delta}\right)\)で点列\(\left(n\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は有界実数列ですが、収束する部分列をもちません。
有界実数列を\(a_{n}\)とすると、有界なので\(a_{n}\in I_{0}=\left[b_{0},c_{0}\right]\)と表される。
区間\(I_{k}=\left[b_{k},c_{k}\right]\)に無限個の項があるとき、区間を半分に分割するとどちらかには無限個の項が存在するのでそれを\(I_{k+1}\)とする。
区間縮小法により、\(I_{k}\)はある実数\(a\)に収束する。
\(I_{k}\)には無限個の項があるので、任意の自然数\(n\)に対し、\(m>n\)を満たす\(a_{m}\in I_{k}\)が存在する。
これより、\(n\left(k\right)<n\left(k+1\right)\)を満たすように\(a_{n(k)}\in I_{k}\)を選ぶことができる。
そうすると、\(b_{k}\leq a_{n(k)}\leq c_{k}\)となるので挟み撃ちの原理より\(a_{n(k)}\)は\(a\)に収束する。
故に題意は成り立つ。
区間\(I_{k}=\left[b_{k},c_{k}\right]\)に無限個の項があるとき、区間を半分に分割するとどちらかには無限個の項が存在するのでそれを\(I_{k+1}\)とする。
区間縮小法により、\(I_{k}\)はある実数\(a\)に収束する。
\(I_{k}\)には無限個の項があるので、任意の自然数\(n\)に対し、\(m>n\)を満たす\(a_{m}\in I_{k}\)が存在する。
これより、\(n\left(k\right)<n\left(k+1\right)\)を満たすように\(a_{n(k)}\in I_{k}\)を選ぶことができる。
そうすると、\(b_{k}\leq a_{n(k)}\leq c_{k}\)となるので挟み撃ちの原理より\(a_{n(k)}\)は\(a\)に収束する。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hbbbwwr8/ |
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上限・下限・最大元・最小元・上極限・下極限の和
\[
\sup_{n\in\mathbb{N}}\left(a_{n}+b_{n}\right)\leq\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}+\sup_{n\in\mathbb{N}}b_{n}
\]
有理数全体の集合のデデキント切断と最大元・最小元
級数が収束するならチェザロ平均の極限は存在
\[
\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a
\]
実数列の上極限と下極限の定義
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}:=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}
\]