三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
三角関数を正接の半角で表す
(1)
\[ \tan z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1-\tan^{2}\frac{z}{2}} \](2)
\[ \sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \](3)
\[ \cos z=\frac{1-\tan^{2}\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \](1)
\begin{align*} \tan z & =\tan\left(\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\right)\\ & =\frac{\tan\frac{z}{2}+\tan\frac{z}{2}}{1-\tan\frac{z}{2}\tan\frac{z}{2}}\\ & =\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1-\tan^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}(2)
\begin{align*} \sin z & =\sin\left(\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\right)\\ & =2\sin\frac{z}{2}\cos\frac{z}{2}\\ & =2\tan\frac{z}{2}\cos^{2}\frac{z}{2}\\ & =\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}(3)
\begin{align*} \cos z & =\cos\left(\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\right)\\ & =\cos^{2}\frac{z}{2}-\sin^{2}\frac{z}{2}\\ & =\left(1-\tan^{2}\frac{z}{2}\right)\cos^{2}\frac{z}{2}\\ & =\frac{1-\tan^{2}\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}双曲線関数を双曲線正接の半角で表す
(1)
\[ \tanh z=\frac{2\tanh\frac{z}{2}}{1+\tanh^{2}\frac{z}{2}} \](2)
\[ \sinh z=\frac{2\tanh\frac{z}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{z}{2}} \](3)
\[ \cosh z=\frac{1+\tanh^{2}\frac{z}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{z}{2}} \](1)
\begin{align*} \tanh z & =-i\tan\left(iz\right)\\ & =-i\frac{2\tan\frac{iz}{2}}{1-\tan^{2}\frac{iz}{2}}\\ & =\frac{2\tanh\frac{z}{2}}{1+\tanh^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}(2)
\begin{align*} \sinh z & =-i\sin\left(iz\right)\\ & =-i\frac{2\tan\frac{iz}{2}}{1+\tan^{2}\frac{iz}{2}}\\ & =\frac{2\tanh\frac{z}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}(3)
\begin{align*} \cosh z & =\cos\left(iz\right)\\ & =\frac{1-\tan^{2}\frac{iz}{2}}{1+\tan^{2}\frac{iz}{2}}\\ & =\frac{1+\tanh^{2}\frac{z}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hi9nbkia/ |
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3角関数3つでの積和公式・和積公式
\[
\sin A+\sin B+\sin C=4\sin\frac{B+C}{2}\sin\frac{C+A}{2}\sin\frac{A+B}{2}+\sin\left(A+B+C\right)
\]
3角関数・双曲線関数の総和
\[
\sum_{k=m_{1}}^{m_{2}}\sin\left(ak+b\right)=\sin^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\left(m_{1}+m_{2}\right)\frac{a}{2}+b\right)\sin\left(\left(1+m_{2}-m_{1}\right)\frac{a}{2}\right)
\]
三角関数(双曲線関数)の対数とリーマン・ゼータ関数
\[
\log\left(\sin\left(\pi x\right)\right)=\log\left(\pi x\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\zeta\left(2k\right)}{k}x^{2k}
\]
3角関数・双曲線関数の無限乗積展開
\[
\sin\left(\pi z\right)=\pi z\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)
\]