三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。
三角関数を正接の半角で表す
(1)
\[ \tan z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1-\tan^{2}\frac{z}{2}} \](2)
\[ \sin z=\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \](3)
\[ \cos z=\frac{1-\tan^{2}\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \](1)
\begin{align*} \tan z & =\tan\left(\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\right)\\ & =\frac{\tan\frac{z}{2}+\tan\frac{z}{2}}{1-\tan\frac{z}{2}\tan\frac{z}{2}}\\ & =\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1-\tan^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}(2)
\begin{align*} \sin z & =\sin\left(\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\right)\\ & =2\sin\frac{z}{2}\cos\frac{z}{2}\\ & =2\tan\frac{z}{2}\cos^{2}\frac{z}{2}\\ & =\frac{2\tan\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}(3)
\begin{align*} \cos z & =\cos\left(\frac{z}{2}+\frac{z}{2}\right)\\ & =\cos^{2}\frac{z}{2}-\sin^{2}\frac{z}{2}\\ & =\left(1-\tan^{2}\frac{z}{2}\right)\cos^{2}\frac{z}{2}\\ & =\frac{1-\tan^{2}\frac{z}{2}}{1+\tan^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}双曲線関数を双曲線正接の半角で表す
(1)
\[ \tanh z=\frac{2\tanh\frac{z}{2}}{1+\tanh^{2}\frac{z}{2}} \](2)
\[ \sinh z=\frac{2\tanh\frac{z}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{z}{2}} \](3)
\[ \cosh z=\frac{1+\tanh^{2}\frac{z}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{z}{2}} \](1)
\begin{align*} \tanh z & =-i\tan\left(iz\right)\\ & =-i\frac{2\tan\frac{iz}{2}}{1-\tan^{2}\frac{iz}{2}}\\ & =\frac{2\tanh\frac{z}{2}}{1+\tanh^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}(2)
\begin{align*} \sinh z & =-i\sin\left(iz\right)\\ & =-i\frac{2\tan\frac{iz}{2}}{1+\tan^{2}\frac{iz}{2}}\\ & =\frac{2\tanh\frac{z}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}(3)
\begin{align*} \cosh z & =\cos\left(iz\right)\\ & =\frac{1-\tan^{2}\frac{iz}{2}}{1+\tan^{2}\frac{iz}{2}}\\ & =\frac{1+\tanh^{2}\frac{z}{2}}{1-\tanh^{2}\frac{z}{2}} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 三角関数を正接の半角、双曲線関数を双曲線正接の半角で表す。 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hi9nbkia/ |
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三角関数と双曲線関数のn乗積分
\[
\int\sin^{2n+m_{\pm}}xdx=\frac{\Gamma\left(n+\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\left\{ -\frac{1}{2}\sum_{k=0}^{n-1}\left(\frac{\Gamma\left(k+1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(k+\frac{3}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\cos x\sin^{2k+1+m_{\pm}}x\right)+\frac{\Gamma\left(1+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{1}{2}+\frac{m_{\pm}}{2}\right)}\int\sin^{m_{\pm}}xdx\right\}
\]
三角関数と双曲線関数の対数
\[
\log\sin x=-\log2+\frac{\pi}{2}i-ix-Li_{1}\left(e^{2ix}\right)
\]
三角関数と双曲線関数の積分
\[
\int f(\cos x,\sin x)dx=\int f\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}},\frac{2t}{1+t^{2}}\right)\frac{2}{1+t^{2}}dt\cnd{t=\tan\frac{x}{2}}
\]
正接関数・双曲線正接関数の半角公式の別表示
\[
\tan\frac{z}{2}=\frac{\sin z}{1+\cos z}
\]