上極限・下極限は存在

by nomura · 2023年12月16日

上極限・下極限は存在
実数列$\left(a_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}$があるとする。

(1)

上極限$\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}$は値が存在するかプラスまたはマイナスの無限となる。

(2)

下極限$\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}$は値が存在するかプラスまたはマイナスの無限となる。

$\limsup_{n\rightarrow\infty}n$は$\sup_{k\geq n}k$=$\infty$なので$\limsup_{n\rightarrow\infty}n=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}=\infty$となりプラスの無限になる。
$\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(-n\right)$は$\sup_{k\geq n}\left(-k\right)=-n$なので$\limsup_{n\rightarrow\infty}\left(-n\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}\left(-k\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\left(-n\right)=-\infty$となり、マイナスの無限となる。

(1)

上極限は
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k} \] であり、$\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}$は$n$について単調減少数列となる。
従って、任意の$n\in\mathbb{N}$に対し、$\sup_{k\geq n}a_{k}$の値が存在するとき、下に有界であれば単調減少数列なので$\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}$の値は存在し下に有界でなければ単調減少数列なのでマイナスの無限となる。
また、ある$n\in\mathbb{N}$が存在し、$\sup_{k\geq n}a_{k}$の値が存在しないとき、上に有界ではないので、$\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{k\geq n}a_{k}$はプラスの無限となる。
故に題意は成り立つ。

(2)

下極限は
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}a_{k} \] であり、$\sup_{n\in\mathbb{N}}a_{n}$は$n$について単調増加数列となる。
従って、任意の$n\in\mathbb{N}$に対し、$\inf_{k\geq n}a_{k}$の値が存在するとき、上に有界であれば単調増加数列なので$\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}a_{k}$の値は存在し上に有界でなければ単調増加数列なのでプラスの無限となる。
また、ある$n\in\mathbb{N}$が存在し、$\inf_{k\geq n}a_{k}$の値が存在しないとき、下に有界ではないので、$\lim_{n\rightarrow\infty}\inf_{k\geq n}a_{k}$はマイナスの無限となる。
故に題意は成り立つ。