(*)ベルヌーイ多項式の微分・積分
ベルヌーイ多項式の微分・積分
ベルヌーイ多項式の微分・積分について次が成り立つ。
\[ B_{n}'\left(x\right)=nB_{n-1}\left(x\right) \]
\[ B_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)B_{n-k}\left(x\right) \]
\[ \int B_{n}\left(x\right)dx=\frac{B_{n+1}\left(x\right)}{n+1}+C \]
\begin{align*} \int_{a}^{b}B_{n}\left(x\right)dx & =\sum_{k=a}^{b-1}k^{n} \end{align*}
\[ \int_{0}^{1}B_{m}\left(x\right)B_{n}\left(x\right)dx=\left(-1\right)^{n-1}\frac{m!n!}{\left(m+n\right)!}B_{m+n} \]
ベルヌーイ多項式の微分・積分について次が成り立つ。
(1)1階微分
\(n\in\mathbb{N}\)とする。\[ B_{n}'\left(x\right)=nB_{n-1}\left(x\right) \]
(2)\(n\)階微分
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。\[ B_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right)=P\left(n,k\right)B_{n-k}\left(x\right) \]
(3)積分
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。\[ \int B_{n}\left(x\right)dx=\frac{B_{n+1}\left(x\right)}{n+1}+C \]
(4)
\(a,b\in\mathbb{Z}\)とする。\begin{align*} \int_{a}^{b}B_{n}\left(x\right)dx & =\sum_{k=a}^{b-1}k^{n} \end{align*}
(5)
\(m,n\in\mathbb{N}\)とする。\[ \int_{0}^{1}B_{m}\left(x\right)B_{n}\left(x\right)dx=\left(-1\right)^{n-1}\frac{m!n!}{\left(m+n\right)!}B_{m+n} \]
(5)は\(m=0\lor n=0\)のとき一般的に成り立ちません。
例えば\(m=1,n=0\)とすると左辺は、
\begin{align*} \int_{0}^{1}B_{1}\left(x\right)B_{0}\left(x\right)dx & =\int_{0}^{1}B_{1}\left(x\right)dx\\ & =\frac{1}{2}\left[B_{2}\left(x\right)\right]_{0}^{1}\\ & =\frac{1}{2}\left(B_{2}\left(1\right)-B_{2}\left(0\right)\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(-1\right)^{2}B_{2}-B_{2}\right)\\ & =0 \end{align*} となり、右辺は、
\begin{align*} \left(-1\right)^{0-1}\frac{1!0!}{\left(1+0\right)!}B_{1+0} & =-B_{1}\\ & =\frac{1}{2} \end{align*} となり、等しくありません。
例えば\(m=1,n=0\)とすると左辺は、
\begin{align*} \int_{0}^{1}B_{1}\left(x\right)B_{0}\left(x\right)dx & =\int_{0}^{1}B_{1}\left(x\right)dx\\ & =\frac{1}{2}\left[B_{2}\left(x\right)\right]_{0}^{1}\\ & =\frac{1}{2}\left(B_{2}\left(1\right)-B_{2}\left(0\right)\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left(-1\right)^{2}B_{2}-B_{2}\right)\\ & =0 \end{align*} となり、右辺は、
\begin{align*} \left(-1\right)^{0-1}\frac{1!0!}{\left(1+0\right)!}B_{1+0} & =-B_{1}\\ & =\frac{1}{2} \end{align*} となり、等しくありません。
(1)
\begin{align*} B_{n}'\left(x\right) & =\frac{d}{dx}\left(\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}x^{n-k}\right)\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}C\left(n,k\right)\left(n-k\right)B_{k}x^{n-k-1}\\ & =n\sum_{k=0}^{n-1}C\left(n-1,k\right)B_{k}x^{n-1-k}\\ & =nB_{n-1}\left(x\right) \end{align*}(2)
(1)より、\begin{align*} B_{n}^{\left(k\right)}\left(x\right) & =nB_{n-1}^{\left(k-1\right)}\left(x\right)\\ & =\frac{n!}{\left(n-k\right)!}B_{n-k}\left(x\right)+n!\sum_{j=1}^{k}\left\{ \frac{1}{\left(n-j\right)!}B_{n-j}^{\left(k-j\right)}\left(x\right)-\frac{1}{\left(n-\left(j-1\right)\right)!}B_{n-\left(j-1\right)}^{\left(k-\left(j-1\right)\right)}\left(x\right)\right\} \\ & =\frac{n!}{\left(n-k\right)!}B_{n-k}\left(x\right)\\ & =P\left(n,k\right)B_{n-k}\left(x\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。
(3)
(1)より、\begin{align*} \int B_{n}\left(x\right)dx & =\frac{1}{n+1}\int B_{n+1}'\left(x\right)dx\\ & =\frac{B_{n+1}\left(x\right)}{n+1}+C \end{align*} となるので与式は成り立つ。
(4)
\begin{align*} \int_{a}^{b}B_{n}\left(x\right)dx & =\sum_{k=a}^{b-1}\int_{k}^{k+1}B_{n}\left(x\right)dx\\ & =\frac{1}{n+1}\sum_{k=a}^{b-1}\left[B_{n+1}\left(x\right)\right]_{k}^{k+1}\\ & =\frac{1}{n+1}\sum_{k=a}^{b-1}\left\{ B_{n+1}\left(k+1\right)-B_{n+1}\left(k\right)\right\} \\ & =\frac{1}{n+1}\sum_{k=a}^{b-1}\left(n+1\right)k^{n}\\ & =\sum_{k=a}^{b-1}k^{n} \end{align*}(5)
略
ページ情報
| タイトル | (*)ベルヌーイ多項式の微分・積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hn1uhtwf/ |
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(*)ベルヌーイ多項式同士の関係
\[
B_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(x\right)
\]
ベルヌーイ多項式の指数型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\left(x\right)\frac{t^{k}}{k!}=\frac{te^{xt}}{e^{t}-1}
\]
ベルヌーイ多項式の級数表示
\[
B_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{k+1}\sum_{j=0}^{k}\left(-1\right)^{j}C\left(k,j\right)\left(x+j\right)^{n}
\]
(*)ベルヌーイ多項式の総和
\[
\sum_{j=0}^{n}C\left(n,j\right)B_{j}\left(x\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n}\left(-x\right)
\]