(*)ベルヌーイ多項式の微分・積分

by · 2025年1月6日

ベルヌーイ多項式の微分・積分
ベルヌーイ多項式の微分・積分について次が成り立つ。

(1)1階微分

n∈Nとする。
Bn′(x)=nBn−1(x)

(2)n階微分

n∈N0とする。
Bn(k)(x)=P(n,k)Bn−k(x)

(3)積分

n∈N0とする。
∫Bn(x)dx=Bn+1(x)n+1+C

(4)

a,b∈Zとする。
∫abBn(x)dx=∑k=ab−1kn

(5)

m,n∈Nとする。
∫01Bm(x)Bn(x)dx=(−1)n−1m!n!(m+n)!Bm+n
(5)はm=0∨n=0のとき一般的に成り立ちません。
例えばm=1,n=0とすると左辺は、
∫01B1(x)B0(x)dx=∫01B1(x)dx=12[B2(x)]01=12(B2(1)−B2(0))=12((−1)2B2−B2)=0 となり、右辺は、
(−1)0−11!0!(1+0)!B1+0=−B1=12 となり、等しくありません。

(1)

Bn′(x)=ddx(∑k=0nC(n,k)Bkxn−k)=∑k=0n−1C(n,k)(n−k)Bkxn−k−1=n∑k=0n−1C(n−1,k)Bkxn−1−k=nBn−1(x)

(2)

(1)より、
Bn(k)(x)=nBn−1(k−1)(x)=n!(n−k)!Bn−k(x)+n!∑j=1k{1(n−j)!Bn−j(k−j)(x)−1(n−(j−1))!Bn−(j−1)(k−(j−1))(x)}=n!(n−k)!Bn−k(x)=P(n,k)Bn−k(x) となるので与式は成り立つ。

(3)

(1)より、
∫Bn(x)dx=1n+1∫Bn+1′(x)dx=Bn+1(x)n+1+C となるので与式は成り立つ。

(4)

∫abBn(x)dx=∑k=ab−1∫kk+1Bn(x)dx=1n+1∑k=ab−1[Bn+1(x)]kk+1=1n+1∑k=ab−1{Bn+1(k+1)−Bn+1(k)}=1n+1∑k=ab−1(n+1)kn=∑k=ab−1kn

(5)

略
数学言語
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タイトル
(*)ベルヌーイ多項式の微分・積分
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(*)ベルヌーイ多項式の特殊値
Bn(0)=Bn
ベルヌーイ多項式の定義
Bn(x)=∑k=0nC(n,k)Bkxn−k
ベルヌーイ多項式の級数表示
Bn(x)=∑k=0n1k+1∑j=0k(−1)jC(k,j)(x+j)n
(*)ベルヌーイ多項式の総和
∑j=0nC(n,j)Bj(x)=(−1)nBn(−x)