(1)

\(\emptyset\)は開集合なので\(\emptyset=\emptyset^{i}\)となる。

(2)

\begin{align*} \emptyset^{e} & =\emptyset^{ci}\\ & =X^{i}\\ & =X \end{align*}

(3)

境界の定義より、
\begin{align*} \emptyset^{f} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\emptyset\ne\emptyset\land U_{x}\cap\emptyset^{c}\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\emptyset\ne\emptyset\land U_{x}\cap X\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\bot\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\mathcal{O}=\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in\emptyset\right\} \\ & =\emptyset \end{align*}

(4)

\(\emptyset\)は閉集合なので\(\emptyset=\emptyset^{a}\)となる。

(5)

導集合の定義より、
\begin{align*} \emptyset^{d} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(\emptyset\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\emptyset\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\bot\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\mathcal{O}=\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in\emptyset\right\} \\ & =\emptyset \end{align*}

(6)

孤立点全体の集合の定義より、
\begin{align*} \emptyset^{s} & =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\emptyset=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},\bot\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\bot\right\} \\ & =\emptyset \end{align*}

(7)

\(X\)は開集合なので\(X=X^{i}\)となる。

(8)

\begin{align*} X^{e} & =X^{ci}\\ & =\emptyset^{i}\\ & =\emptyset \end{align*}

(9)

境界の定義より、
\begin{align*} X^{f} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap X\ne\emptyset\land U_{x}\cap X^{c}\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap X\ne\emptyset\land U_{x}\cap\emptyset\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap X\ne\emptyset\land\emptyset\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},\bot\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\mathcal{O}=\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in\emptyset\right\} \\ & =\emptyset \end{align*}

(10)

\(X\)は閉集合なので\(X=X^{a}\)となる。

(11)

導集合の定義より、
\begin{align*} X^{d} & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left(X\setminus\left\{ x\right\} \right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap\left\{ x\right\} ^{c}\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\nsubseteq\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in X;\forall U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\ne\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \notin\mathcal{O}\right\} \end{align*}

(12)

孤立点全体の集合の定義より、
\begin{align*} X^{s} & =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}\cap X=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in X;\exists U_{x}\in\mathcal{O},U_{x}=\left\{ x\right\} \right\} \\ & =\left\{ x\in X;\left\{ x\right\} \in\mathcal{O}\right\} \end{align*}