3角関数の関数の定積分
3角関数の関数の定積分
次の定積分が成り立つ。
次の定積分が成り立つ。
(1)
\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx \](2)
\[ \int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx=\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx \](1)
\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos x\right)dx & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)\right)dx\\ & =\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}f\left(\sin x\right)dx \end{align*}(2)
\begin{align*} \int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx & =\int_{0}^{\pi}\left(\pi-x\right)f\left(\sin\left(\pi-x\right)\right)dx\cmt{x\rightarrow\pi-x}\\ & =\int_{0}^{\pi}\left(\pi-x\right)f\left(\sin x\right)dx\\ & =\pi\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx-\int_{0}^{\pi}xf\left(\sin x\right)dx\\ & =\frac{\pi}{2}\int_{0}^{\pi}f\left(\sin x\right)dx \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3角関数の関数の定積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/hotxaiee/ |
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ライプニッツの法則
\[
\left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)}
\]
逆関数の微分
\[
\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}
\]
対数を含む積分
\[
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\]
微分の基本公式
\[
\left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\]