反交換子を含む基本的性質(反交換関係)
反交換子を含む基本的性質(反交換関係)
\(A,B\)を演算子とすると反交換子について次が成り立つ。
\(A,B\)を演算子とすると反交換子について次が成り立つ。
(1)
\[ \left\{ A,B\right\} =\left\{ B,A\right\} \](2)
\[ \left\{ A,B+C\right\} =\left\{ A,B\right\} +\left\{ A,C\right\} \](3)
\begin{align*} \left\{ AB,C\right\} & =A\left[B,C\right]+\left\{ A,C\right\} B\\ & =A\left\{ B,C\right\} -\left[A,C\right]B \end{align*}(4)
\[ \left[AB,C\right]=A\left\{ B,C\right\} -\left\{ A,C\right\} B \](5)
\[ \left[A,BC\right]=\left\{ A,B\right\} C-B\left\{ A,C\right\} \](6)
\[ \left[\left\{ A,B\right\} ,C\right]+\left[\left\{ C,A\right\} ,B\right]+\left[\left\{ B,C\right\} ,A\right]=0 \](7)
\[ AB=\frac{1}{2}\left(\left[A,B\right]+\left\{ A,B\right\} \right) \](1)
\begin{align*} \left\{ A,B\right\} & =AB+BA\\ & =BA+AB\\ & =\left\{ B,A\right\} \end{align*}(2)
\begin{align*} \left\{ A,B+C\right\} & =A\left(B+C\right)+\left(B+C\right)A\\ & =AB+BA+AC+CA\\ & =\left\{ A,B\right\} +\left\{ A,C\right\} \end{align*}(3)
\begin{align*} \left\{ AB,C\right\} & =\left[AB,C\right]+2CAB\\ & =A\left[B,C\right]+\left[A,C\right]B+2CAB\\ & =A\left[B,C\right]+\left\{ A,C\right\} B-2CAB+2CAB\\ & =A\left[B,C\right]+\left\{ A,C\right\} B \end{align*} \begin{align*} \left\{ AB,C\right\} & =\left[AB,C\right]+2CAB\\ & =A\left[B,C\right]+\left[A,C\right]B+2CAB\\ & =A\left\{ B,C\right\} -2ACB+\left[A,C\right]B+2CAB\\ & =A\left\{ B,C\right\} -2\left[A,C\right]B+\left[A,C\right]B\\ & =A\left\{ B,C\right\} -\left[A,C\right]B \end{align*}(4)
\begin{align*} \left[AB,C\right] & =A\left[B,C\right]+\left[A,C\right]B\\ & =A\left(\left\{ B,C\right\} -2CB\right)+\left(\left\{ A,C\right\} -2CA\right)B\\ & =A\left\{ B,C\right\} +\left\{ A,C\right\} B-2\left(AC+CA\right)B\\ & =A\left\{ B,C\right\} +\left\{ A,C\right\} B-2\left\{ A,C\right\} B\\ & =A\left\{ B,C\right\} -\left\{ A,C\right\} B \end{align*}(5)
(4)より、\begin{align*} \left[A,BC\right] & =-\left[BC,A\right]\\ & =-\left(B\left\{ C,A\right\} -\left\{ B,A\right\} C\right)\\ & =\left\{ A,B\right\} C-B\left\{ A,C\right\} \end{align*} となるので与式は成り立つ。
(6)
\begin{align*} \left[\left\{ A,B\right\} ,C\right] & =\left[AB+BA,C\right]\\ & =\left[AB,C\right]+\left[BA,C\right]\\ & =ABC-CAB+BAC-CBA\\ & =ABC-\left(\left\{ C,A\right\} -AC\right)B+BAC-\left(\left\{ C,B\right\} -BC\right)A\\ & =ABC-\left\{ C,A\right\} B+ACB+BAC-\left\{ C,B\right\} A+BCA\\ & =A\left\{ B,C\right\} -\left\{ C,A\right\} B+B\left\{ A,C\right\} -\left\{ C,B\right\} A\\ & =-\left[\left\{ C,A\right\} ,B\right]-\left[\left\{ B,C\right\} ,A\right] \end{align*} これより、\[ \left[\left\{ A,B\right\} ,C\right]+\left[\left\{ C,A\right\} ,B\right]+\left[\left\{ B,C\right\} ,A\right]=0 \] となるので与式は成り立つ。
(7)
\begin{align*} AB & =\frac{1}{2}\left(AB-BA+AB+BA\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\left[A,B\right]+\left\{ A,B\right\} \right) \end{align*}ページ情報
| タイトル | 反交換子を含む基本的性質(反交換関係) |
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ベーカー・キャンベル・ハウスドルフの公式(BCH公式)
\[
e^{A}e^{B}=\exp\left(A+B+\frac{1}{2}\left[A,B\right]+\frac{1}{12}\left[A-B,\left[A,B\right]\right]+\cdots\right)
\]
積の交換子の性質
\[
\left[A^{n},B\right]=\sum_{k=1}^{n}A^{n-k}\left[A,B\right]A^{k-1}
\]
交換子の基本的性質(交換関係)
\[
\left[A,BC\right]=\left[A,B\right]C+B\left[A,C\right]
\]
交換子が定数になるときの性質
\[
\left[A^{n},B\right]=n\left[A,B\right]A^{n-1}
\]