幾何学

3角形の角度と長さの関係

by nomura · 2024年11月10日

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3角形の角度と長さの関係
3角形

A B C

があり頂点

A, B, C

の対辺の長さを

a, b, c

として、面積を

S

とする。

このとき次が成り立つ。

(1)

a \cos A + b \cos B + c \cos C = \frac{8 S^{2}}{a b c}

(2)

a \sin A + b \sin B + c \sin C = \frac{2 S (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c}

(1)

\begin{aligned} a \cos A + b \cos B + c \cos C & = 2 R (\sin A \cos A + \sin B \cos B + \sin C \cos C) \\ = R (\sin (2 A) + \sin (2 B) + \sin (2 C)) \\ = 4 R \sin A \sin B \sin C \\ = 4 R \frac{b c \sin A c a \sin B a b \sin C}{a^{2} b^{2} c^{2}} \\ = 4 R \frac{8 S^{3}}{a^{2} b^{2} c^{2}} \\ = \frac{8 S^{2}}{a b c} (∵ S = \frac{a b c}{4 R}) \end{aligned}

(2)

\begin{aligned} a \sin A + b \sin B + c \sin C & = a \cdot \frac{a}{2 R} + b \cdot \frac{b}{2 R} + c \cdot \frac{c}{2 R} \\ = \frac{a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 R} \\ = \frac{2 S (a^{2} + b^{2} + c^{2})}{a b c} (∵ S = \frac{a b c}{4 R}) \end{aligned}

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タイトル	3角形の角度と長さの関係
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円となるための条件

\frac{a^{2} + b^{2}}{4} - c > 0

オイラーの定理

p^{2} q^{2} = a^{2} c^{2} + b^{2} d^{2} - 2 a b c d \cos (A + C)

重心は中線を2:1に内分

3角形の面積を外接円・内接円の半径を使って表示

\begin{aligned} S & = \frac{a b c}{4 R} \\ = \frac{1}{2} r (a + b + c) \\ = 2 R^{2} \sin A \sin B \sin C \\ = r R (\sin A + \sin B + \sin C) \end{aligned}