3角形の角度と長さの関係
3角形の角度と長さの関係
3角形\(ABC\)があり頂点\(A,B,C\)の対辺の長さを\(a,b,c\)として、面積を\(S\)とする。

このとき次が成り立つ。
3角形\(ABC\)があり頂点\(A,B,C\)の対辺の長さを\(a,b,c\)として、面積を\(S\)とする。
このとき次が成り立つ。
(1)
\[ a\cos A+b\cos B+c\cos C=\frac{8S^{2}}{abc} \](2)
\[ a\sin A+b\sin B+c\sin C=\frac{2S\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}{abc} \](1)
\begin{align*} a\cos A+b\cos B+c\cos C & =2R\left(\sin A\cos A+\sin B\cos B+\sin C\cos C\right)\\ & =R\left(\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)\right)\\ & =4R\sin A\sin B\sin C\\ & =4R\frac{bc\sin Aca\sin Bab\sin C}{a^{2}b^{2}c^{2}}\\ & =4R\frac{8S^{3}}{a^{2}b^{2}c^{2}}\\ & =\frac{8S^{2}}{abc}\cmt{\because S=\frac{abc}{4R}} \end{align*}(2)
\begin{align*} a\sin A+b\sin B+c\sin C & =a\cdot\frac{a}{2R}+b\cdot\frac{b}{2R}+c\cdot\frac{c}{2R}\\ & =\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2R}\\ & =\frac{2S\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)}{abc}\cmt{\because S=\frac{abc}{4R}} \end{align*}ページ情報
タイトル | 3角形の角度と長さの関係 |
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3角形の成立条件
\[
\text{3角形の3辺の長さが}a,b,c\Leftrightarrow\left|b-c\right|<a<b+c
\]
3角形の面積を外接円・内接円の半径を使って表示
\begin{align*}
S & =\frac{abc}{4R}\\
& =\frac{1}{2}r\left(a+b+c\right)\\
& =2R^{2}\sin A\sin B\sin C\\
& =rR\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)
\end{align*}
円に外接する4角形の面積
\[
S=\sqrt{abcd}\sin\frac{A+C}{2}
\]
重心・垂心・外心の関係
\[
\boldsymbol{H}+2\boldsymbol{J}=3\boldsymbol{G}
\]