距離化可能の定義

by nomura · 2024年7月7日

距離化可能の定義
位相空間$\left(X,\mathcal{O}\right)$があるとき、ある距離空間$\left(X,d\right)$がありその距離空間での開集合族$\mathcal{O}_{d}$が$\mathcal{O}=\mathcal{O}_{d}$となるとき、$\left(X,\mathcal{O}\right)$は距離化可能であるという。
距離化可能でないときは距離化不可能という。

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離散位相$\left(\left\{ a,b\right\} ,2^{\left\{ a,b\right\} }\right)$は離散距離によって距離化可能である。
何故なら$U_{\frac{1}{2}}\left(a\right)\subseteq\left\{ a\right\} $となるので$\left\{ a\right\} $は開集合となり、同様に$\left\{ b\right\} $も開集合となる。
また、$\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} $が開集合なのでその和集合$\left\{ a,b\right\} $も開集合となり、その補集合の$\emptyset$も開集合となる。
従って、距離空間での開集合は$2^{\left\{ a,b\right\} }$となり、位相空間での開集合と一致するので、題意は成り立つ。

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密着位相$\left(\left\{ a,b\right\} ,\left(\emptyset,\left\{ a,b\right\} \right)\right)$は距離化不可能である。
密着位相$\left(\left\{ a,b\right\} ,\left(\emptyset,\left\{ a,b\right\} \right)\right)$が距離化可能であると仮定する。
$\left\{ a\right\} $を含む開集合は$\left\{ a,b\right\} $のみとなり、$\left\{ b\right\} $を含む開集合も$\left\{ a,b\right\} $のみである。
このとき、任意の$\epsilon>0$に対し、$U_{\epsilon}\left(a\right)=U_{\epsilon}\left(b\right)=\left\{ a,b\right\} $であるので、$0<d\left(a,b\right)<\epsilon$となるが、$\epsilon\rightarrow0$とすると$d\left(a,b\right)=0$となるので矛盾。
または、$U_{\frac{1}{2}d\left(a,b\right)}\left(a\right)=\left\{ a\right\} $は開集合であるが位相空間での開集合$\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} $に含まれてないので矛盾。
従って背理法より仮定が間違いで、位相空間$\left(\left\{ a,b\right\} ,\left(\emptyset,\left\{ a,b\right\} \right)\right)$は距離化不可能である。