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離散位相$(\{a,b\},2^{\{a,b\}})$は離散距離によって距離化可能である。
何故なら$U_{\frac{1}{2}}\left(a\right)\subseteq \left\{a\right\}$となるので$\left\{a\right\}$は開集合となり、同様に$\left\{b\right\}$も開集合となる。
また、$\left\{a\right\},\left\{b\right\}$が開集合なのでその和集合$\{a,b\}$も開集合となり、その補集合の$\mathrm{\varnothing }$も開集合となる。
従って、距離空間での開集合は$2^{\{a,b\}}$となり、位相空間での開集合と一致するので、題意は成り立つ。

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密着位相$(\{a,b\},(\mathrm{\varnothing },\{a,b\}))$は距離化不可能である。
密着位相$(\{a,b\},(\mathrm{\varnothing },\{a,b\}))$が距離化可能であると仮定する。
$\left\{a\right\}$を含む開集合は$\{a,b\}$のみとなり、$\left\{b\right\}$を含む開集合も$\{a,b\}$のみである。
このとき、任意の$ϵ>0$に対し、$U_{ϵ}\left(a\right)=U_{ϵ}\left(b\right)=\{a,b\}$であるので、$0<d(a,b)<ϵ$となるが、$ϵ\to 0$とすると$d(a,b)=0$となるので矛盾。
または、$U_{\frac{1}{2}d(a,b)}\left(a\right)=\left\{a\right\}$は開集合であるが位相空間での開集合$\{\mathrm{\varnothing },\{a,b\}\}$に含まれてないので矛盾。
従って背理法より仮定が間違いで、位相空間$(\{a,b\},(\mathrm{\varnothing },\{a,b\}))$は距離化不可能である。